题目

设有一圆板占有平面闭区域 (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 1} . 该圆板被-|||-加热,以致在点(x,y)的温度是 =(x)^2+2(y)^2-x. 求该圆板的最热点和最冷点.

题目解答

答案

解析

本题考查二元函数在闭区域上的最值问题。解题思路是先求出函数在区域内部的驻点，计算驻点处的函数值，再求出函数在区域边界上的最值，最后比较驻点处函数值和边界上的最值，从而确定整个闭区域上的最热点和最冷点。

  1. 求函数在区域内部的驻点：
    已知温度函数$T = x^{2}+2y^{2}-x$，分别对$x$和$y$求偏导数：
    • 对$x$求偏导数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$T_{x}=\frac{\partial T}{\partial x}=2x - 1$。
    • 对$y$求偏导数，可得$T_{y}=\frac{\partial T}{\partial y}=4y$。
      令$\begin{cases}T_{x}=2x - 1 = 0\\T_{y}=4y = 0\end{cases}$，解方程组：
    • 由$2x - 1 = 0$，移项可得$2x = 1$，解得$x=\frac{1}{2}$。
    • 由$4y = 0$，解得$y = 0$。
      所以驻点为$(\frac{1}{2},0)$，将其代入温度函数$T$可得：
      $T(\frac{1}{2},0)=(\frac{1}{2})^{2}+2\times0^{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$。
  2. 求函数在区域边界上的最值：
    区域边界方程为$x^{2}+y^{2}=1$，则$y^{2}=1 - x^{2}$，将其代入温度函数$T$中：
    $T = x^{2}+2y^{2}-x=x^{2}+2(1 - x^{2})-x=x^{2}+2 - 2x^{2}-x=2 - x^{2}-x$。
    对$T = 2 - x^{2}-x$进行配方，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$可得：
    $T=2-(x^{2}+x)=2-(x^{2}+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})=2-((x + \frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4})=- (x + \frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{4}$。
    因为$x^{2}+y^{2}=1$，所以$-1\leqslant x\leqslant1$。
    • 对于二次函数$T=- (x + \frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{4}$，其二次项系数$-1\lt0$，函数图象开口向下，对称轴为$x = -\frac{1}{2}$，在对称轴处取得最大值。
      当$x = -\frac{1}{2}$时，代入$x^{2}+y^{2}=1$可得$(-\frac{1}{2})^{2}+y^{2}=1$，即$\frac{1}{4}+y^{2}=1$，移项可得$y^{2}=1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，解得$y = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时$T_{max}=\frac{9}{4}$。
    • 分别计算边界端点处的函数值：
      当$x = 1$时，代入$x^{2}+y^{2}=1$可得$1 + y^{2}=1$，解得$y = 0$，此时$T = 2 - 1^{2}-1 = 0$。
      当$x = -1$时，代入$x^{2}+y^{2}=1$可得$1 + y^{2}=1$，解得$y = 0$，此时$T = 2 - (-1)^{2}-(-1)=2 - 1 + 1 = 2$。
  3. 比较驻点处函数值和边界上的最值：
    比较$-\frac{1}{4}$，$0$，$2$，$\frac{9}{4}$的大小，可得$-\frac{1}{4}\lt0\lt2\lt\frac{9}{4}$。