题目
求螺旋线 ) x=acos theta y=asin theta z=btheta .在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。
求螺旋线
在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。
题目解答
答案
由前两个方程得x2+y2=a2, 于是螺旋线在xOy面上的投影曲线的直角坐标方程为
。
由第三个方程得
代入第一个方程得
, 即
,
于是螺旋线在zOx面上的投影曲线的直角坐标方程为
.
由第三个方程得代入第二个方程得
, 即
,
于是螺旋线在yOz面上的投影曲线的直角坐标方程为
。
解析
步骤 1：确定螺旋线在xOy面上的投影曲线
由螺旋线的参数方程$\left \{ \begin{matrix} x=a\cos \theta \\ y=a\sin \theta \\ z=b\theta \end{matrix} \right.$，可以得到$x^2+y^2=a^2$。由于投影到xOy面上，z坐标为0，因此螺旋线在xOy面上的投影曲线的直角坐标方程为$\left \{ \begin{matrix} {x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}\\ z=0\end{matrix} \right.$。
步骤 2：确定螺旋线在zOx面上的投影曲线
由螺旋线的参数方程$\left \{ \begin{matrix} x=a\cos \theta \\ y=a\sin \theta \\ z=b\theta \end{matrix} \right.$，可以得到$\theta = \frac{z}{b}$。将$\theta$代入$x=a\cos \theta$，得到$x=a\cos \frac{z}{b}$，即$z=b\arccos \frac{x}{a}$。由于投影到zOx面上，y坐标为0，因此螺旋线在zOx面上的投影曲线的直角坐标方程为$\left \{ \begin{matrix} z=b\arccos \frac{x}{a}\\ y=0\end{matrix} \right.$。
步骤 3：确定螺旋线在yOz面上的投影曲线
由螺旋线的参数方程$\left \{ \begin{matrix} x=a\cos \theta \\ y=a\sin \theta \\ z=b\theta \end{matrix} \right.$，可以得到$\theta = \frac{z}{b}$。将$\theta$代入$y=a\sin \theta$，得到$y=a\sin \frac{z}{b}$，即$z=b\arcsin \frac{y}{a}$。由于投影到yOz面上，x坐标为0，因此螺旋线在yOz面上的投影曲线的直角坐标方程为$\left \{ \begin{matrix} x=0\\ z=b\arcsin \frac{y}{a}\end{matrix} \right.$。
由螺旋线的参数方程$\left \{ \begin{matrix} x=a\cos \theta \\ y=a\sin \theta \\ z=b\theta \end{matrix} \right.$，可以得到$x^2+y^2=a^2$。由于投影到xOy面上，z坐标为0，因此螺旋线在xOy面上的投影曲线的直角坐标方程为$\left \{ \begin{matrix} {x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}\\ z=0\end{matrix} \right.$。
步骤 2：确定螺旋线在zOx面上的投影曲线
由螺旋线的参数方程$\left \{ \begin{matrix} x=a\cos \theta \\ y=a\sin \theta \\ z=b\theta \end{matrix} \right.$，可以得到$\theta = \frac{z}{b}$。将$\theta$代入$x=a\cos \theta$，得到$x=a\cos \frac{z}{b}$，即$z=b\arccos \frac{x}{a}$。由于投影到zOx面上，y坐标为0，因此螺旋线在zOx面上的投影曲线的直角坐标方程为$\left \{ \begin{matrix} z=b\arccos \frac{x}{a}\\ y=0\end{matrix} \right.$。
步骤 3：确定螺旋线在yOz面上的投影曲线
由螺旋线的参数方程$\left \{ \begin{matrix} x=a\cos \theta \\ y=a\sin \theta \\ z=b\theta \end{matrix} \right.$，可以得到$\theta = \frac{z}{b}$。将$\theta$代入$y=a\sin \theta$，得到$y=a\sin \frac{z}{b}$，即$z=b\arcsin \frac{y}{a}$。由于投影到yOz面上，x坐标为0，因此螺旋线在yOz面上的投影曲线的直角坐标方程为$\left \{ \begin{matrix} x=0\\ z=b\arcsin \frac{y}{a}\end{matrix} \right.$。