7. (5.0分) 对于函数z=f(x,y)，结论()正确。A. 若在点(x,y)处可导，则在该点连续B. 若在点(x,y)处可微，则在该点的偏导数必连续C. 若在点(x,y)处可微，则在该点连续D. 若在点(x,y)处连续，则两个偏导数存在

本题考查多元函数连续性、可微性与偏导数存在性之间的关系。解题核心在于理解以下几点：

1. 可微性是比连续性更强的条件，可微一定连续，但连续不一定可微；
2. 偏导数存在与连续性无直接必然联系；
3. 偏导数连续是可微的充分条件，但并非必要条件。

关键结论：

• 可微 ⇒ 连续（选项C正确）；
• 偏导数存在 ≠ 函数连续（选项A错误）；
• 可微 ≠ 偏导数连续（选项B错误）；
• 连续 ≠ 偏导数存在（选项D错误）。

选项A分析

若函数在点$(x,y)$处可导（通常指偏导数存在），是否一定连续？
错误。多元函数中，偏导数存在仅说明沿坐标轴方向的变化率存在，但无法保证函数在该点连续。例如：
$f(x,y) = \begin{cases}\frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0), \\0, & (x,y) = (0,0),\end{cases}$
在$(0,0)$处偏导数存在，但函数在该点不连续。

选项B分析

若函数在点$(x,y)$处可微，是否偏导数必连续？
错误。可微仅要求偏导数存在且函数可用线性近似表示，但偏导数本身不需要连续。例如：
构造可微但偏导数不连续的函数，说明可微性与偏导数连续性无必然联系。

选项C分析

若函数在点$(x,y)$处可微，是否一定连续？
正确。根据可微定义，若函数在某点可微，则其增量可表示为：
$\Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y) = f_x \Delta x + f_y \Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}),$
当$\Delta x \to 0, \Delta y \to 0$时，$\Delta z \to 0$，故函数连续。

选项D分析

若函数在点$(x,y)$处连续，是否偏导数存在？
错误。连续性仅说明极限沿任意路径趋近于该点时值相同，但无法保证沿坐标轴方向的导数存在。例如：
$f(x,y) = |x| + |y|$
在$(0,0)$处连续，但偏导数不存在。