题目
1、sqrt[4](1+i)=____。
1、$\sqrt[4]{1+i}$=____。
题目解答
答案
将复数 $1+i$ 转换为极坐标形式：
\[
1+i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)
\]
计算四次方根：
\[
\sqrt[4]{1+i} = 2^{1/8} \left[\cos\left(\frac{\pi/4 + 2k\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi/4 + 2k\pi}{4}\right)\right], \quad k=0,1,2,3
\]
化简得：
\[
\sqrt[4]{1+i} = 2^{1/8} \left[\cos\left(\frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}\right)\right]
\]
对应 $k=0,1,2,3$ 的四个根为：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
2^{1/8} \left(\cos\frac{\pi}{16} + i\sin\frac{\pi}{16}\right), & 2^{1/8} \left(\cos\frac{9\pi}{16} + i\sin\frac{9\pi}{16}\right), \\
2^{1/8} \left(\cos\frac{17\pi}{16} + i\sin\frac{17\pi}{16}\right), & 2^{1/8} \left(\cos\frac{25\pi}{16} + i\sin\frac{25\pi}{16}\right)
\end{array}
}
\]
或表示为：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
w_0, & iw_0, \\
-w_0, & -iw_0
\end{array}
}
\]
其中 $w_0 = 2^{1/8} \left(\cos\frac{\pi}{16} + i\sin\frac{\pi}{16}\right)$。
解析
考查要点：本题主要考查复数的根式运算，涉及复数的极坐标形式、棣莫弗定理的应用，以及复数根的几何意义。
解题核心思路：
- 将复数转换为极坐标形式，确定模和辐角；
- 应用四次根公式，计算模的四次根和辐角的四分之一；
- 考虑多值性，通过不同的整数k（k=0,1,2,3）得到四个不同的根；
- 几何表示：四个根在复平面上均匀分布，间隔π/2。
破题关键点：
- 极坐标转换：正确计算模和辐角；
- 棣莫弗定理：正确应用公式求根；
- 多值性处理：通过k的不同取值得到所有根。
步骤1：将复数转换为极坐标形式
复数 $1+i$ 的模为：
$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
辐角为：
$\theta = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$
因此，极坐标形式为：
$1+i = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right)$
步骤2：应用四次根公式
根据棣莫弗定理，四次根的模为：
$r^{1/4} = (\sqrt{2})^{1/4} = 2^{1/8}$
辐角为：
$\frac{\theta + 2k\pi}{4} = \frac{\pi/4 + 2k\pi}{4} = \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}, \quad k=0,1,2,3$
步骤3：写出所有根
将k代入公式，得到四个根：
- k=0：$\frac{\pi}{16}$，对应根为 $2^{1/8} \left( \cos\frac{\pi}{16} + i\sin\frac{\pi}{16} \right)$；
- k=1：$\frac{9\pi}{16}$，对应根为 $2^{1/8} \left( \cos\frac{9\pi}{16} + i\sin\frac{9\pi}{16} \right)$；
- k=2：$\frac{17\pi}{16}$，对应根为 $2^{1/8} \left( \cos\frac{17\pi}{16} + i\sin\frac{17\pi}{16} \right)$；
- k=3：$\frac{25\pi}{16}$，对应根为 $2^{1/8} \left( \cos\frac{25\pi}{16} + i\sin\frac{25\pi}{16} \right)$。
步骤4：简化表示
四个根可表示为 $w_0, iw_0, -w_0, -iw_0$，其中：
$w_0 = 2^{1/8} \left( \cos\frac{\pi}{16} + i\sin\frac{\pi}{16} \right)$