题目
4.利用级数的性质判别下列级数的敛散性,并对收敛级数求其和:-|||-(1) (dfrac (1)(2)+dfrac (1)(3))+(dfrac (1)({2)^2}+dfrac (1)({3)^2})+... +(dfrac (1)({2)^n}+dfrac (1)({3)^n})+... ;-|||-(2) sum _(n=1)^infty (2)^nsin dfrac (pi )({2)^n} ;-|||-(3) sum _(n=1)^infty (n)^2ln (1+dfrac (x)({n)^2})(xneq 0);-|||-(4) sum _(n=1)^infty dfrac ({2)^n+1}({3)^n}
题目解答
答案
解析
(1) 步骤 1：将级数拆分为两个几何级数
级数可以拆分为两个几何级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{2}^{n}}$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{3}^{n}}$。
步骤 2：判断两个几何级数的敛散性
两个几何级数的公比分别为 $\dfrac {1}{2}$ 和 $\dfrac {1}{3}$，均小于1，因此两个级数都收敛。
步骤 3：求两个几何级数的和
$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{2}^{n}} = \dfrac {\dfrac {1}{2}}{1-\dfrac {1}{2}} = 1$，$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{3}^{n}} = \dfrac {\dfrac {1}{3}}{1-\dfrac {1}{3}} = \dfrac {1}{2}$。
步骤 4：求原级数的和
原级数的和为两个几何级数的和之和，即 $1 + \dfrac {1}{2} = \dfrac {3}{2}$。
(2) 步骤 1：分析级数的通项
级数的通项为 ${2}^{n}\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$。
步骤 2：判断级数的敛散性
当 $n$ 趋于无穷大时，$\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$ 趋于0，但 ${2}^{n}$ 趋于无穷大，因此级数发散。
(3) 步骤 1：分析级数的通项
级数的通项为 ${n}^{2}\ln (1+\dfrac {x}{{n}^{2}})$。
步骤 2：判断级数的敛散性
当 $n$ 趋于无穷大时，$\ln (1+\dfrac {x}{{n}^{2}})$ 趋于0，但 ${n}^{2}$ 趋于无穷大，因此级数发散。
(4) 步骤 1：将级数拆分为两个几何级数
级数可以拆分为两个几何级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{2}^{n}}{{3}^{n}}$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{3}^{n}}$。
步骤 2：判断两个几何级数的敛散性
两个几何级数的公比分别为 $\dfrac {2}{3}$ 和 $\dfrac {1}{3}$，均小于1，因此两个级数都收敛。
步骤 3：求两个几何级数的和
$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{2}^{n}}{{3}^{n}} = \dfrac {\dfrac {2}{3}}{1-\dfrac {2}{3}} = 2$，$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{3}^{n}} = \dfrac {\dfrac {1}{3}}{1-\dfrac {1}{3}} = \dfrac {1}{2}$。
步骤 4：求原级数的和
原级数的和为两个几何级数的和之和，即 $2 + \dfrac {1}{2} = \dfrac {5}{2}$。
级数可以拆分为两个几何级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{2}^{n}}$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{3}^{n}}$。
步骤 2：判断两个几何级数的敛散性
两个几何级数的公比分别为 $\dfrac {1}{2}$ 和 $\dfrac {1}{3}$，均小于1，因此两个级数都收敛。
步骤 3：求两个几何级数的和
$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{2}^{n}} = \dfrac {\dfrac {1}{2}}{1-\dfrac {1}{2}} = 1$，$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{3}^{n}} = \dfrac {\dfrac {1}{3}}{1-\dfrac {1}{3}} = \dfrac {1}{2}$。
步骤 4：求原级数的和
原级数的和为两个几何级数的和之和，即 $1 + \dfrac {1}{2} = \dfrac {3}{2}$。
(2) 步骤 1：分析级数的通项
级数的通项为 ${2}^{n}\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$。
步骤 2：判断级数的敛散性
当 $n$ 趋于无穷大时，$\sin \dfrac {\pi }{{2}^{n}}$ 趋于0，但 ${2}^{n}$ 趋于无穷大，因此级数发散。
(3) 步骤 1：分析级数的通项
级数的通项为 ${n}^{2}\ln (1+\dfrac {x}{{n}^{2}})$。
步骤 2：判断级数的敛散性
当 $n$ 趋于无穷大时，$\ln (1+\dfrac {x}{{n}^{2}})$ 趋于0，但 ${n}^{2}$ 趋于无穷大，因此级数发散。
(4) 步骤 1：将级数拆分为两个几何级数
级数可以拆分为两个几何级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{2}^{n}}{{3}^{n}}$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{3}^{n}}$。
步骤 2：判断两个几何级数的敛散性
两个几何级数的公比分别为 $\dfrac {2}{3}$ 和 $\dfrac {1}{3}$，均小于1，因此两个级数都收敛。
步骤 3：求两个几何级数的和
$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{2}^{n}}{{3}^{n}} = \dfrac {\dfrac {2}{3}}{1-\dfrac {2}{3}} = 2$，$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{3}^{n}} = \dfrac {\dfrac {1}{3}}{1-\dfrac {1}{3}} = \dfrac {1}{2}$。
步骤 4：求原级数的和
原级数的和为两个几何级数的和之和，即 $2 + \dfrac {1}{2} = \dfrac {5}{2}$。