题目
( 13 int dfrac (sin x)({cos )^3x}dx ;
题目解答
答案
$\int \dfrac {\sin x}{{\cos }^{3}x}dx=-\int \dfrac {1}{{\cos }^{3}x}d\cos x=-\dfrac {1}{2}{\cos }^{-2}x+C$;
解析
步骤 1：识别积分类型
给定的积分是 $\int \dfrac {\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$，这是一个关于 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的积分，可以通过换元法来解决。
步骤 2：换元
设 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x dx$。因此，$\sin x dx = -du$。将原积分中的 $\sin x dx$ 替换为 $-du$，得到 $\int \dfrac {-du}{{u}^{3}}$。
步骤 3：计算积分
计算 $\int \dfrac {-du}{{u}^{3}}$，得到 $-\int {u}^{-3}du$。根据幂函数的积分公式，$\int {u}^{n}du = \dfrac{{u}^{n+1}}{n+1} + C$，其中 $n \neq -1$。因此，$-\int {u}^{-3}du = -\dfrac{{u}^{-2}}{-2} + C = \dfrac{1}{2}{u}^{-2} + C$。
步骤 4：回代
将 $u = \cos x$ 回代到积分结果中，得到 $\dfrac{1}{2}{\cos }^{-2}x + C$。
给定的积分是 $\int \dfrac {\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$，这是一个关于 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的积分，可以通过换元法来解决。
步骤 2：换元
设 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x dx$。因此，$\sin x dx = -du$。将原积分中的 $\sin x dx$ 替换为 $-du$，得到 $\int \dfrac {-du}{{u}^{3}}$。
步骤 3：计算积分
计算 $\int \dfrac {-du}{{u}^{3}}$，得到 $-\int {u}^{-3}du$。根据幂函数的积分公式，$\int {u}^{n}du = \dfrac{{u}^{n+1}}{n+1} + C$，其中 $n \neq -1$。因此，$-\int {u}^{-3}du = -\dfrac{{u}^{-2}}{-2} + C = \dfrac{1}{2}{u}^{-2} + C$。
步骤 4：回代
将 $u = \cos x$ 回代到积分结果中，得到 $\dfrac{1}{2}{\cos }^{-2}x + C$。