题目
29.(简答题，7分)求向量组a_(1)=(3,4,-2,5),a_(2)=(2,-5,0,-3),a_(3)=(5,0,-1,2),a_(4)=(3,3,-3,5)的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示.
29.(简答题，7分)
求向量组
$a_{1}=(3,4,-2,5),a_{2}=(2,-5,0,-3),a_{3}=(5,0,-1,2),a_{4}=(3,3,-3,5)$
的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示.
题目解答
答案
将向量组构成的矩阵进行初等行变换化为行最简形：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
由行最简形知，向量组的秩为3，第1、2、3列对应向量线性无关，构成最大无关组。第4列可表示为：
\[
a_4 = 2a_1 + a_2 - a_3
\]
**答案：**
最大无关组：$a_1, a_2, a_3$
线性表示：$a_4 = 2a_1 + a_2 - a_3$
解析
考查要点：本题主要考查向量组的最大无关组的求解方法，以及将其他向量用最大无关组线性表示的能力。
解题核心思路：
- 构造矩阵：将向量组作为矩阵的列向量构成矩阵。
- 行变换化简：通过初等行变换将矩阵化为行最简形，确定主元列的位置。
- 确定无关组：主元列对应的原向量构成最大无关组。
- 线性表示：非主元列的系数对应行最简形中的元素，从而写出线性组合关系。
破题关键：
- 行最简形矩阵的主元列直接对应最大无关组的向量。
- 非主元列的系数可直接从行最简形中读出，用于线性表示。
-
构造矩阵：
将向量组 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 作为列向量构成矩阵 $A$：
$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 & 3 \\ 4 & -5 & 0 & 3 \\ -2 & 0 & -1 & -3 \\ 5 & -3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$ -
初等行变换化简：
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，最终得到行最简形矩阵：
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ -
确定最大无关组：
行最简形矩阵的主元位于第1、2、3列，因此原向量组中对应的 $a_1, a_2, a_3$ 是最大无关组。 -
线性表示：
第4列的非主元列对应系数为 $2, 1, -1$，因此：
$a_4 = 2a_1 + a_2 - a_3$