题目
求lim _(xarrow 3)dfrac (sqrt {x+1)-2}(x-3)
求
题目解答
答案
故答案为：
解析
步骤 1：分子有理化
为了消除分母中的$x-3$，我们首先对分子进行有理化处理。分子$\sqrt{x+1}-2$乘以它的共轭式$\sqrt{x+1}+2$，这样可以将分子转化为一个可以与分母约简的形式。
步骤 2：分子分母同时乘以共轭式
$\lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {\sqrt {x+1}-2}{x-3} = \lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {(\sqrt {x+1}-2)(\sqrt {x+1}+2)}{(x-3)(\sqrt {x+1}+2)}$
步骤 3：分子分母约简
分子变为$(\sqrt{x+1})^2 - 2^2 = x+1-4 = x-3$，这样分子和分母中的$x-3$可以约简。
步骤 4：计算极限
$\lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {x-3}{(x-3)(\sqrt {x+1}+2)} = \lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {1}{\sqrt {x+1}+2} = \dfrac {1}{\sqrt {3+1}+2} = \dfrac {1}{4}$
为了消除分母中的$x-3$，我们首先对分子进行有理化处理。分子$\sqrt{x+1}-2$乘以它的共轭式$\sqrt{x+1}+2$，这样可以将分子转化为一个可以与分母约简的形式。
步骤 2：分子分母同时乘以共轭式
$\lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {\sqrt {x+1}-2}{x-3} = \lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {(\sqrt {x+1}-2)(\sqrt {x+1}+2)}{(x-3)(\sqrt {x+1}+2)}$
步骤 3：分子分母约简
分子变为$(\sqrt{x+1})^2 - 2^2 = x+1-4 = x-3$，这样分子和分母中的$x-3$可以约简。
步骤 4：计算极限
$\lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {x-3}{(x-3)(\sqrt {x+1}+2)} = \lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {1}{\sqrt {x+1}+2} = \dfrac {1}{\sqrt {3+1}+2} = \dfrac {1}{4}$