设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为：P(X=1,Y=1)=0.2,P(X=1,Y=2)=0.3,P(X=2,Y=1)=0.1,P(X=2,Y=2)=0.4，求随机变量S=X+Y的概率分布。A. P(S=2)=0.2,P(S=3)=0.6,P(S=4)=0.2B. P(S=2)=0.2,P(S=3)=0.4,P(S=4)=0.3C. P(S=2)=0.1,P(S=3)=0.4,P(S=4)=0.5D. P(S=2)=0.2,P(S=3)=0.4,P(S=4)=0.4

本题考查二维随机变量函数的概率分布。解题思路是先确定随机变量$S = X + Y$的所有可能取值，然后分别计算每个取值对应的概率。

步骤一：确定$S = X + Y$的所有可能取值

已知$X$的取值为$1$和$2$，$Y$的取值为$1$和$2$，那么$S = X + Y$的可能取值为：
当$X = 1$，$Y = 1$时，$S=1 + 1 = 2$；
当$X = 1$，$Y = 2$或$X = 2$，$Y = 1$时，$S=1 + 2 = 3$或$S=2 + 1 = 3$；
当$X = 2$，$Y = 2$时，$S=2 + 2 = 4$。

步骤二：计算$S$取每个值的概率

• 计算$P(S = 2)$：
  $S = 2$只有$X = 1$且$Y = 1$这一种情况，根据联合分布律可知$P(S = 2)=P(X = 1,Y = 1)=0.2$。
• 计算$P(S = 3)$：
  $S = 3$有$X = 1$，$Y = 2$和$X = 2$，$Y = 1$这两种情况，由于这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$，可得：
  $P(S = 3)=P(X = 1,Y = 2)+P(X = 2,Y = 1)=0.3 + 0.1 = 0.4$。
• 计算$P(S = 4)$：
  $S = 4$只有$X = 2$且$Y = 2$这一种情况，根据联合分布律可知$P(S = 4)=P(X = 2,Y = 2)=0.4$。