题目
3. 函数 =sqrt ({x)^2-3x-4}+arcsin dfrac (x)(2) 的定义域为【 () 】.-|||-A. [ -2,-1] B. [ -2,-1] cup [ 4,+infty ) C.(2,4] D. (-infty ,-1]
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $\sqrt {{x}^{2}-3x-4}$ 的定义域
为了使根号内的表达式有意义，必须有 ${x}^{2}-3x-4 \geq 0$。我们首先解这个不等式。
${x}^{2}-3x-4 = (x-4)(x+1) \geq 0$
通过分析，我们发现当 $x \leq -1$ 或 $x \geq 4$ 时，不等式成立。因此，$\sqrt {{x}^{2}-3x-4}$ 的定义域为 $(-\infty, -1] \cup [4, +\infty)$。
步骤 2：确定 $\arccos \dfrac {x}{2}$ 的定义域
为了使 $\arccos$ 函数有意义，必须有 $-1 \leq \dfrac {x}{2} \leq 1$。解这个不等式，我们得到 $-2 \leq x \leq 2$。因此，$\arccos \dfrac {x}{2}$ 的定义域为 $[-2, 2]$。
步骤 3：确定函数 $y=\sqrt {{x}^{2}-3x-4}+\arccos \dfrac {x}{2}$ 的定义域
函数 $y$ 的定义域是两个部分定义域的交集。因此，我们需要找到 $(-\infty, -1] \cup [4, +\infty)$ 和 $[-2, 2]$ 的交集。
交集为 $[-2, -1]$。
为了使根号内的表达式有意义，必须有 ${x}^{2}-3x-4 \geq 0$。我们首先解这个不等式。
${x}^{2}-3x-4 = (x-4)(x+1) \geq 0$
通过分析，我们发现当 $x \leq -1$ 或 $x \geq 4$ 时，不等式成立。因此，$\sqrt {{x}^{2}-3x-4}$ 的定义域为 $(-\infty, -1] \cup [4, +\infty)$。
步骤 2：确定 $\arccos \dfrac {x}{2}$ 的定义域
为了使 $\arccos$ 函数有意义，必须有 $-1 \leq \dfrac {x}{2} \leq 1$。解这个不等式，我们得到 $-2 \leq x \leq 2$。因此，$\arccos \dfrac {x}{2}$ 的定义域为 $[-2, 2]$。
步骤 3：确定函数 $y=\sqrt {{x}^{2}-3x-4}+\arccos \dfrac {x}{2}$ 的定义域
函数 $y$ 的定义域是两个部分定义域的交集。因此，我们需要找到 $(-\infty, -1] \cup [4, +\infty)$ 和 $[-2, 2]$ 的交集。
交集为 $[-2, -1]$。