[题目]求由方程 -x=(x-y)ln (x-y) 所确定的函数-|||-y=y(x) 的微分dy.

考查要点：本题主要考查隐函数求导法，要求通过对方程两边同时求导，解出微分$dy$。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：将方程中的$y$视为$x$的函数，对等式两边同时关于$x$求导。
2. 处理复合函数：对右边的$(x-y)\ln(x-y)$使用乘积法则和链式法则求导。
3. 整理方程：将含有$dy$的项集中，解出$\frac{dy}{dx}$，最终得到$dy$的表达式。

破题关键点：

• 正确应用导数规则，尤其是乘积法则和链式法则。
• 代数整理时注意合并同类项，避免符号错误。

步骤1：对原方程两边求导
原方程：
$2y - x = (x - y)\ln(x - y)$
对$x$求导，左边导数为：
$2\frac{dy}{dx} - 1$
右边导数为（设$u = x - y$，应用乘积法则）：
$\frac{d}{dx}[u \ln u] = (1 - \frac{dy}{dx})\ln u + (1 - \frac{dy}{dx}) = (1 - \frac{dy}{dx})(\ln u + 1)$
即：
$2\frac{dy}{dx} - 1 = (1 - \frac{dy}{dx})(\ln(x - y) + 1)$

步骤2：解方程求$\frac{dy}{dx}$
展开右边并整理：
$\begin{aligned}2\frac{dy}{dx} - 1 &= \ln(x - y) + 1 - \frac{dy}{dx}(\ln(x - y) + 1) \\2\frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx}(\ln(x - y) + 1) &= \ln(x - y) + 2 \\\frac{dy}{dx} \left[3 + \ln(x - y)\right] &= \ln(x - y) + 2 \\\frac{dy}{dx} &= \frac{\ln(x - y) + 2}{3 + \ln(x - y)}\end{aligned}$

步骤3：写出微分$dy$
$dy = \frac{\ln(x - y) + 2}{3 + \ln(x - y)} dx$