设函数 f(x)=} sin (1)/(x), & x neq 0, 1, & x=0, 则当 x to 0 时，f(x) 是 A. 无穷小B. 无穷大C. 既不是无穷大，也不是无穷小D. 极限存在但不是 0

考查要点：本题主要考查函数在某点的极限概念，特别是当自变量趋近于某值时，函数是否为无穷小或无穷大的判断。

解题核心思路：

1. 理解无穷小与无穷大的定义：无穷小指函数值无限趋近于0；无穷大指函数值绝对值无限增大。
2. 分析函数行为：当$x \to 0$时，$\sin \frac{1}{x}$的值在$[-1, 1]$内无限振荡，但始终有界。
3. 排除法验证选项：
   • 排除A：函数值不趋近于0；
   • 排除B：函数值有界，不趋于无穷大；
   • 排除D：极限不存在；
   • 确定C：既不满足无穷小也不满足无穷大。

破题关键点：

• 振荡无界的极限不存在：$\sin \frac{1}{x}$的振荡性导致极限不存在，但函数值始终有界。

当$x \to 0$时，$\frac{1}{x}$的绝对值趋于无穷大，$\sin \frac{1}{x}$的值在$[-1, 1]$之间无限振荡。具体分析如下：

无穷小判断

若$f(x)$是无穷小，则$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$。

• 但取$x = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}$（$k$为整数），此时$\sin \frac{1}{x} = 1$，极限不为0。
• 因此$f(x)$不是无穷小，排除选项A。

无穷大判断

若$f(x)$是无穷大，则$\lim_{x \to 0} |f(x)| = +\infty$。

• 但$\sin \frac{1}{x}$的值始终在$[-1, 1]$内，绝对值不超过1，有界。
• 因此$f(x)$不是无穷大，排除选项B。

极限存在性判断

若极限存在，则无论$x$以何种方式趋近于0，函数值应趋于同一常数。

• 取$x = \frac{1}{k\pi}$（$k$为正整数），此时$\sin \frac{1}{x} = 0$；
• 取$x = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + k\pi}$，此时$\sin \frac{1}{x} = \pm 1$。
• 极限值不唯一，极限不存在，排除选项D。

结论：$f(x)$既不是无穷小，也不是无穷大，故选C。