设(X,d)是度量空间.令rho(x,y)=(d(x,y))/(1+d(x,y))，任意x,yin X.证明：(X,rho)是度量空间.

本题考察度量空间的定义及验证方法，需证明定义的$\rho(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$满足度量空间的三条公理：非负性、对称性和三角不等式。

1. 非负性验证

度量空间要求$\rho(x,y)\geq0$，且$\rho(x,y)=0\iff x=y$：

• 因$d(x,y)$是度量，故$d(x,y)\geq0$，则分子$d(x,y)\geq0$，分母$1+d(x,y)\geq1>0$，故$\rho(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}\geq0$。
• 若$\rho(x,y)=0$，则分子$d(x,y)=0$，由$d$的非负性知$x=y$；反之，若$x=y$，则$d(x,y)=0$，故$\rho(x,y)=0$。

2. 对称性验证

度量空间要求$\rho(x,y)=\rho(y,x)$：
因$d(x,y)=d(y,x)$（$d$的对称性），则：
$\rho(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}=\frac{d(y,x)}{1+d(y,x)}=\rho(y,x)$

3. 三角不等式验证

度量空间要求$\rho(x,y)\leq\rho(x,z)+\rho(z,y)$：

• 首先，$f(t)=\frac{t}{1+t}$在$[0,+\infty)$上单调递增（导数$f'(t)=\frac{1}{(1+t)^2}>0$）。
• 由$d$的三角不等式：$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$，故$f(d(x,y))\leq f(d(x,z)+d(z,y))$，即：
  $\rho(x,y)\leq\frac{d(x,z)+d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)}$
• 拆分右侧：
  $\frac{d(x,z)+d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)}=\frac{d(x,z)}{1+d(x,z)+d(z,y)}+\frac{d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)}$
  因分母$1+d(x,z)+d(z,y)\geq1+d(x,z)$且$\geq1+d(z,y)$，故：
  $\frac{d(x,z)}{1+d(x,z)+d(z,y)}\leq\frac{d(x,z)}{1+d(x,z)}=\rho(x,z)$
  $\frac{d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)}\leq\frac{d(z,y)}{1+d(z,y)}=\rho(z,y)$
  相加得$\rho(x,y)\leq\rho(x,z)+\rho(z,y)$。