题目
求lim _(xarrow infty )dfrac (ln (x+sqrt {{x)^2+1)}-ln (x+sqrt ({x)^2-1})}({({e)^dfrac (1{x)}-1)}^2}
求
题目解答
答案
，首先根据
，所以原式可化为：
，然后分子中的
可化为：
，所以原式化为：
，根据等价无穷小：
可知：原式可化为：
，分子有理化：
，化简计算：
解析
步骤 1：化简分子
根据对数的性质，$na-\ln b=\ln \dfrac {a}{b}$，所以原式可化为：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln \dfrac {x+\sqrt {{x}^{2}+1}}{x+\sqrt {{x}^{2}-1}}}{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$$
步骤 2：分子中的对数项化简
分子中的$n\dfrac {x+\sqrt {{x}^{2}+1}}{x+\sqrt {{x}^{2}-1}}$可化为：
$$n(\dfrac {x+\sqrt {{x}^{2}-1}+\sqrt {{x}^{2}+1}-\sqrt {{x}^{2}-1}}{x+\sqrt {{x}^{2}-1}})$$
所以原式化为：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln (1+\dfrac {\sqrt {{x}^{2}+1}-\sqrt {{x}^{2}-1}}{x+\sqrt {{x}^{2}-1}})}{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$$
步骤 3：利用等价无穷小替换
根据等价无穷小：$x\rightarrow 0$, $\ln (1+x)\sim x$可知，原式可化为：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\dfrac {\sqrt {{x}^{2}+1}-\sqrt {{x}^{2}-1}}{x+\sqrt {{x}^{2}-1}}}{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$$
步骤 4：分子有理化
分子有理化：$(\sqrt {{x}^{2}+1}-\sqrt {{x}^{2}-1})(\sqrt {{x}^{2}+1}+\sqrt {{x}^{2}-1})$，化简计算：
$$=\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\dfrac {2}{2x\times 2x}}{\dfrac {1}{{x}^{2}}}=\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\dfrac {2}{4{x}^{2}}}{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$$
$$=\dfrac {1}{2}$$
根据对数的性质，$na-\ln b=\ln \dfrac {a}{b}$，所以原式可化为：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln \dfrac {x+\sqrt {{x}^{2}+1}}{x+\sqrt {{x}^{2}-1}}}{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$$
步骤 2：分子中的对数项化简
分子中的$n\dfrac {x+\sqrt {{x}^{2}+1}}{x+\sqrt {{x}^{2}-1}}$可化为：
$$n(\dfrac {x+\sqrt {{x}^{2}-1}+\sqrt {{x}^{2}+1}-\sqrt {{x}^{2}-1}}{x+\sqrt {{x}^{2}-1}})$$
所以原式化为：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln (1+\dfrac {\sqrt {{x}^{2}+1}-\sqrt {{x}^{2}-1}}{x+\sqrt {{x}^{2}-1}})}{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$$
步骤 3：利用等价无穷小替换
根据等价无穷小：$x\rightarrow 0$, $\ln (1+x)\sim x$可知，原式可化为：
$$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\dfrac {\sqrt {{x}^{2}+1}-\sqrt {{x}^{2}-1}}{x+\sqrt {{x}^{2}-1}}}{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$$
步骤 4：分子有理化
分子有理化：$(\sqrt {{x}^{2}+1}-\sqrt {{x}^{2}-1})(\sqrt {{x}^{2}+1}+\sqrt {{x}^{2}-1})$，化简计算：
$$=\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\dfrac {2}{2x\times 2x}}{\dfrac {1}{{x}^{2}}}=\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\dfrac {2}{4{x}^{2}}}{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$$
$$=\dfrac {1}{2}$$