单选-|||-曲线 ) x=2t+3+sin t y=2-3t+ln (1+(t)^2) . 上点(3,2)处-|||-(4分)-|||-只-|||-切线方程为: y=x-1-|||-B-|||-法线方程为: y=x-1-|||-C-|||-一阶导数为1-|||-D-|||-法线方程为: y=-x+5-|||-上一题 下一题

步骤 1：确定参数 t 的值
给定曲线的参数方程为：
\[ x = 2t + 3 + \sin t \]
\[ y = 2 - 3t + \ln(1 + t^2) \]
我们需要找到参数 t 的值，使得曲线经过点 (3, 2)。将 x = 3 和 y = 2 代入参数方程中，得到：
\[ 3 = 2t + 3 + \sin t \]
\[ 2 = 2 - 3t + \ln(1 + t^2) \]
从第一个方程中解出 t：
\[ 0 = 2t + \sin t \]
\[ 0 = 2t + \sin t \]
由于 \(\sin t\) 在 t = 0 时为 0，因此 t = 0 是一个解。将 t = 0 代入第二个方程中验证：
\[ 2 = 2 - 3(0) + \ln(1 + 0^2) \]
\[ 2 = 2 \]
因此，t = 0 是正确的参数值。

步骤 2：计算一阶导数
为了找到切线方程，我们需要计算 \(\frac{dy}{dx}\)。首先计算 \(\frac{dx}{dt}\) 和 \(\frac{dy}{dt}\)：
\[ \frac{dx}{dt} = 2 + \cos t \]
\[ \frac{dy}{dt} = -3 + \frac{2t}{1 + t^2} \]
然后，计算 \(\frac{dy}{dx}\)：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-3 + \frac{2t}{1 + t^2}}{2 + \cos t} \]
将 t = 0 代入：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{-3 + \frac{2(0)}{1 + 0^2}}{2 + \cos 0} = \frac{-3}{2 + 1} = -1 \]
因此，一阶导数为 -1。

步骤 3：确定切线和法线方程
切线方程为：
\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]
其中，\(m = -1\)，\(x_0 = 3\)，\(y_0 = 2\)。代入得到：
\[ y - 2 = -1(x - 3) \]
\[ y = -x + 5 \]
法线方程为：
\[ y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0) \]
其中，\(m = -1\)，\(x_0 = 3\)，\(y_0 = 2\)。代入得到：
\[ y - 2 = -\frac{1}{-1}(x - 3) \]
\[ y = x - 1 \]