题目
一、选择题1-2010.7.9. 设随机变量X服从参数为0.5的指数分布,用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤( )A. dfrac (4)(9) B. dfrac (4)(9) C. dfrac (4)(9) D. 1
一、选择题
1-2010.7.9. 设随机变量X服从参数为0.5的指数分布,用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤( )
A.
B.
C.
D. 1
题目解答
答案
D. 1
解析
步骤 1：确定随机变量X的期望和方差
随机变量X服从参数为0.5的指数分布，其概率密度函数为$f(x) = 0.5e^{-0.5x}$，其中$x \geq 0$。指数分布的期望$E(X) = \frac{1}{\lambda}$，方差$Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$，其中$\lambda$是指数分布的参数。因此，对于参数为0.5的指数分布，我们有$E(X) = \frac{1}{0.5} = 2$，$Var(X) = \frac{1}{0.5^2} = 4$。
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量X，其期望为$\mu$，方差为$\sigma^2$，对于任意正数$\epsilon$，有$P(|X-\mu| \geq \epsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$。在这个问题中，$\mu = 2$，$\sigma^2 = 4$，$\epsilon = 3$。因此，$P(|X-2| \geq 3) \leq \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9}$。
步骤 3：选择正确答案
根据切比雪夫不等式的应用，我们得到$P(|X-2| \geq 3) \leq \frac{4}{9}$，因此正确答案是A。
随机变量X服从参数为0.5的指数分布，其概率密度函数为$f(x) = 0.5e^{-0.5x}$，其中$x \geq 0$。指数分布的期望$E(X) = \frac{1}{\lambda}$，方差$Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$，其中$\lambda$是指数分布的参数。因此，对于参数为0.5的指数分布，我们有$E(X) = \frac{1}{0.5} = 2$，$Var(X) = \frac{1}{0.5^2} = 4$。
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任意随机变量X，其期望为$\mu$，方差为$\sigma^2$，对于任意正数$\epsilon$，有$P(|X-\mu| \geq \epsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$。在这个问题中，$\mu = 2$，$\sigma^2 = 4$，$\epsilon = 3$。因此，$P(|X-2| \geq 3) \leq \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9}$。
步骤 3：选择正确答案
根据切比雪夫不等式的应用，我们得到$P(|X-2| \geq 3) \leq \frac{4}{9}$，因此正确答案是A。