题目

6. (10.0分) 从某班学生中任选一名学生，设A=(选出的人是男生)，B=(选出的人是数学爱好者)，C=(选出的人是班干部)，则“选出的人不是数学爱好者，也不是班干部的男生”可表示为（）. (单选10分) A overline(ABC) B overline(BUC) C A-overline(BC). D A-BUC

6. (10.0分) 从某班学生中任选一名学生，设A={选出的人是男生}，B={选出的人是数学爱好者}，C={选出的人是班干部}，则“选出的人不是数学爱好者，也不是班干部的男生”可表示为（）. (单选10分) A $\overline{ABC}$ B $\overline{BUC}$ C $A-\overline{BC}.$ D $A-BUC$

题目解答

答案

设事件 $A$ 为“选出的人是男生”，$B$ 为“选出的人是数学爱好者”，$C$ 为“选出的人是班干部”。题目要求表示“选出的人不是数学爱好者，也不是班干部的男生”，即满足以下条件： 1. 是男生（属于 $A$）。 2. 不是数学爱好者（不属于 $B$，即属于 $\overline{B}$）。 3. 不是班干部（不属于 $C$，即属于 $\overline{C}$）。 选项分析： - **A：$\overline{ABC}$** 表示“不是男生、数学爱好者且班干部”，不符合题意。 - **B：$\overline{B \cup C}$** 表示“既不是数学爱好者，也不是班干部”，但未限定为男生，不符合题意。 - **C：$A - \overline{BC}$** 表示“男生但不是数学爱好者且班干部”，不符合题意。 - **D：$A - (B \cup C)$** 表示“男生但不是数学爱好者或班干部”，即“男生且不是数学爱好者，也不是班干部”，符合题意。 **答案：** $\boxed{D}$

解析

考查要点：本题主要考查集合运算中的差集、补集以及交集的综合应用，需要将自然语言描述的事件转化为集合表达式。

解题核心思路：

  1. 明确事件定义：A（男生）、B（数学爱好者）、C（班干部）。
  2. 拆分题意：题目要求“是男生，且不是数学爱好者，也不是班干部”，即需同时满足三个条件：
    • 属于A（男生）；
    • 不属于B（非数学爱好者）；
    • 不属于C（非班干部）。
  3. 集合运算转换：将上述条件转化为集合表达式，需用差集或交集与补集的组合。

破题关键点：

  • 差集的定义：$A - D$ 表示“属于A但不属于D”。
  • 补集的德摩根律：$\overline{B \cup C} = \overline{B} \cap \overline{C}$。
  • 选项分析：需逐一验证选项是否等价于 $A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$。

题目要求：表示“选出的人是男生，且不是数学爱好者，也不是班干部”。
目标表达式：$A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$。

选项分析

选项A：$\overline{ABC}$

  • $\overline{ABC}$ 表示“既不是男生，也不是数学爱好者，也不是班干部”，与题意中“是男生”矛盾，排除。

选项B：$\overline{B \cup C}$

  • $\overline{B \cup C}$ 表示“既不是数学爱好者，也不是班干部”，但未限定“是男生”，可能包含女生，排除。

选项C：$A - \overline{BC}$

  • $\overline{BC}$ 表示“不是数学爱好者且班干部”，则 $A - \overline{BC}$ 表示“是男生，但不是（非数学爱好者且班干部）”，即 $A \cap (B \cup \overline{C})$，与题意不符，排除。

选项D：$A - (B \cup C)$

  • $B \cup C$ 表示“是数学爱好者或班干部”，则 $A - (B \cup C)$ 表示“是男生，但既不是数学爱好者也不是班干部”，即 $A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$，符合题意。