设随机变量ξ的分布律为P(xi=k)=(lambda^k)/(ak!)(lambda>0,k=1,2,3,...)，则a=（）.A. e^-lambdaB. e^lambdaC. e^-lambda-1D. e^lambda-1

本题考查离散型随机变量分布分布律的性质，解题思路是利用离散型随机变量所有可能取值的概率之和为$1$这一性质来求解$a$的值。

已知随机变量$\xi$的分布律为$P(\xi = k)=\frac{\lambda^{k}{ak!}(\lambda\gt0,k = 1,2,3,\cdots)$，根据离散型随机变量分布律的性质，有$\sum_{k = 1}^{\infty}P(\xi = k)=1$，即$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{ak!}=1$。

• 步骤一：对$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{ak!}$进行变形
  将$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{ak!}$变形为$\frac{1}{a}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}$。
• 步骤二：利用指数函数的幂级数展开式
  指数函数$e^{x}$的幂级数展开式为$e^{x}=\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}=1+\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$，那么$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{x^{k}}{}}{k}}{k!}=e^{x}-1$。
  令$x = \lambda$，则$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=e^{\lambda}-1$。
• 步骤三：计算$a$的值
  将$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=e^{\lambda}-1$代入$\frac{1}{a}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=1$中，得到$\frac{1}{a}(e^{\lambda}-1)=1$。
  等式两边同时乘以$a$可得$e^{\lambda}-1 = a$，即$a = e^{\lambda}-1$。