第西意 不定积分-|||-(20)f(f(m(m+x)/√(1+x))dx;-|||-(10) sqrt (tan sqrt {1+{x)^2}}cdot dfrac (x{d)^2}(sqrt {1+{x)^2}}-|||-(22) int dfrac (dx)(sin xcos x)-|||-(21) int dfrac (1+ln x)({(xln x))^2}dx;-|||-(24)∫cos^3xdx-|||-(23) int dfrac (ln tan x)(cos xsin x)dx;-|||-(26)∫sin22xcos3xdx;-|||-(25) int (cos )^2(omega t+varphi )dt;-|||-(28)|sin55xsin7xdx;-|||-(27) int cos xcos dfrac (x)(2)dx;-|||-(29) int (tan )^3xsec xdx;-|||-(30) int dfrac (dx)({e)^x+(e)^-x};-|||-(31) int dfrac (1-x)(sqrt {9-4{x)^2}}dx;-|||-(32) int dfrac ({x)^3}(9+{x)^2}dx;-|||-(33) int dfrac (dx)(2{x)^2-1};-|||-(34) int dfrac (dx)((x+1)(x-2));-|||-(35) int dfrac (x)({x)^2-x-2}dx;-|||-(36) int dfrac ({x)^2dx}(sqrt {{a)^2-(x)^2}}(agt 0);-|||-(37) int dfrac (dx)(xsqrt {{x)^2-1}};-|||-(38) int dfrac (dx)(sqrt {{({x)^2+1)}^3}}-|||-(39) int dfrac (sqrt {{x)^2-9}}(x)dx-|||-(40) int dfrac (dx)(1+sqrt {2x)};-|||-(41) int dfrac (bx)(1+sqrt {1-{x)^2}}-|||-(42) int dfrac (dx)(x+sqrt {1-{x)^2}};-|||-(43) int dfrac (x-1)({x)^2+2x+3}dx;-|||-(44) int dfrac ({x)^3+1}({({x)^2+1)}^2}dx.-|||-前面我们在复合函数求导法则的基础上,得到了换元积分法.-|||-个函数乘积的求导法则,来推得另一个求积分的基本方法-|||-设函数 u=u(x) 及 v=v(x) 具有连续导数,则两个函数乘积的-|||-(uv)'=u'v+uv',-|||-,得

本次题目主要考察不定积分的计算，涵盖了多种积分类型，包括换元积分法（第一类换元、第二类换元）、分部积分法、三角恒等变换、有理函数积分等。以下是部分题目的详细解析：

19题（可能为输入错误，推测为积分）

题目可能为：$\int \sqrt{\tan\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$
思路：换元法。令$u=\sqrt{1+x^2}$，则$du=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$，积分转化为$\int \sqrt{\tan u}du$，但答案未直接对应，可能题目存在输入误差。

20题：$\int \frac{\arctan\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)}dx$

思路：换元法。令$t=\arctan\sqrt{x}$，则$dt=\frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$，即$2dt=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx$。积分转化为$2\int tdt = t^2 + C = (\arctan\sqrt{x})^2 + C$，答案未直接对应，可能题目与答案不匹配。

22题：$\int \frac{dx}{\sin x\cos x}$

思路：三角恒等变换。利用$\sin 2x=2\sin x\cos x$，则$\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}=2\csc 2x$，积分$\int 2\csc 2xdx=\ln|\tan x| + C$，答案未直接对应。

24题：$\int \cos^3xdx$

思路：拆分为$\int \cos x(1-\sin^2x)dx$，换元$u=\sin x$，则积分$=\int (1-u^2)du=\sin x - \frac{1}{3}\sin^3x + C$，答案未直接对应。

26题：$\int \sin 2x\cos 3xdx$

思路：积化和差公式：$\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$，则$\sin 2x\cos 3x=\frac{1}{2}[\sin 5x - \sin x]$，积分$=\frac{1}{2}(-\frac{1}{5}\cos 5x + \cos x) + C$，答案未直接对应。

28题：$\int \sin 5x\sin 7xdx$

思路：积化和差公式：$\sin A\sin B=\frac{1}{2}[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$，则$\sin 5x\sin 7x=\frac{1}{2}[\cos 2x - \cos 12x]$，积分$=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sin 2x - \frac{1}{12}\sin 12x) + C$，答案未直接对应。

30题：$\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}}$

思路：分子分母同乘$e^x$得$\int \frac{e^x}{1 + e^{2x}}dx$，换元$u=e^x$，积分$=\arctan(e^x) + C$，答案未直接对应。

31题：$\int \frac{1 - x}{\sqrt{9 - 4x^2}}dx$

思路：拆分积分：$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 4x^2}}dx - \int \frac{x}{\sqrt{9 - 4x^2}}dx$。

• 第一项：换元$u=2x$，得$\frac{1}{2}\arcsin(\frac{2x}{3}) + C$；
• 第二项：换元$v=9 - 4x^2$，得$\frac{1}{4}\sqrt{9 - 4x^2} + C$；
  结果：$\frac{1}{2}\arcsin(\frac{2x}{3}) + \frac{1}{4}\sqrt{9 - 4x^2} + C$，答案未直接对应。

32题：$\int \frac{x^3}{9 + x^2}dx$

思路：拆分分子：$x^3 = x(9 + x^2) - 9x$，积分$=\int xdx - 9\int \frac{x}{9 + x^2}dx$，得$\frac{1}{2}x^2 - \frac{9}{2}\ln(9 + x^2) + C$，答案未直接对应。

33题：$\int \frac{dx}{2x^2 - 1}$

思路：部分分式：$\frac{1}{(√2x - 1)(√2x + 1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{√2x - 1} - \frac{1}{√2x + 1})$，积分$=\frac{1}{2√2}\ln|\frac{√2x - 1}{√2x + 1}| + C$，答案中出现“$\frac{1}{2√2}\ln|\frac{√2x - 1}{√2x + 1}| + C$”的片段，可能对应此问。

34题：$\int \frac{dx}{(x + 1)(x - 2)}$

思路：部分分式：$\frac{1}{3}(\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 1})$，积分$=\frac{1}{3}\ln|\frac{x - 2}{x + 1}| + C$，答案未直接对应。

35题：$\int \frac{x}{x^2 - x - 2}dx$

思路：部分分式：$\frac{x}{(x - 2)(x + 1)}=\frac{2}{3(x - 2)} + \frac{1}{3(x + 1)}$，积分$=\frac{2}{3}\ln|x - 2| + \frac{1}{3}\ln|x + 1| + C$，答案未直接对应。

36题：$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx$

思路：三角换元$x=a\sin t$，积分$=a^2\int \sin^2t dt=\frac{a^2}{2}(t - \sin t\cos t) + C=\frac{a^2}{2}(\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{a^2}\sqrt{a^2 - x^2}) + C$，答案未直接对应。

37题：$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}}$

思路：换元$u=\sqrt{x^2 - 1}$，积分$=\arccos\frac{1}{|x|} + C$或$\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}| + C$，答案未直接对应。

38题：$\int \frac{dx}{\sqrt{(x^2 + 1)^3}}$

思路：换元$x=\tan t$，积分$=\sin t + C=\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} + C$，答案未直接对应。

39题：$\int \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x}dx$

思路：三角换元$x=3\sec t$，积分$=3\ln|x + \sqrt{x^2 - 9}| - \sqrt{x^2 - 9} + C$，答案未直接对应。

40题：$\int \frac{dx}{1 + \sqrt{2x}}$

思路：换元$t=\sqrt{2x}$，$x=\frac{t^2}{2}$，$dx=tdt$，积分$=\int \frac{2t}{1 + t}dt=2(t - \ln|1 + t|) + C=2(\sqrt{2x} - \ln|1 + \sqrt{2x}|) + C$，答案未直接对应。

41题：$\int \frac{dx}{1 + \sqrt{1 - x^2}}$

思路：换元$x=\sin t$，积分$=\int \frac{\cos t}{1 + \cos t}dt=t - \tan\frac{t}{2} + C=\arcsin x - \frac{1 - x}{\sqrt{1 - x^2}} + C$，答案未直接对应。

42题：$\int \frac{dx}{x + \sqrt{1 - x^2}}$

思路：换元$x=\sin t$，积分$=\int \frac{\cos t}{\sin t + \cos t}dt=\frac{1}{2}(t - \ln|\sin t + \cos t|) + C=\frac{1}{2}(\arcsin x - \ln|x + \sqrt{1 - x^2}|) + C$，答案未直接对应。

43题：$\int \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 3}dx$（推测为$x^2 + 2x + 3$）

思路：拆分分子：$x - 1=\frac{1}{2}(2x + 2) - 2$，积分$=\frac{1}{2}\ln(x) - 2\int \frac{1}{(x + 1)^2 + 2}dx=\frac{1}{2}\ln(x^2 + 2x + 3) - \sqrt{2}\arctan(\frac{x + 1}{\sqrt{2}}) + C$，答案未直接对应。

44题：$\int \frac{x^3 + 1}{(x^2 + 1)^2}dx$

思路：拆分分子：$x^3 + 1=x(x^2 + 1) + 1 - x$，积分$=\int \frac{x}{x^2 + 1}dx + \int \frac{1 - x}{(x^2 + 1)^2}dx=\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + \frac{x}{2(x^2 + 1)} + \frac{1}{2}\arctan x + C$，答案未直接对应。