题目

13.设2阶实对称矩阵A的特征值为lambda_(1),lambda_(2),且lambda_(1)neqlambda_(2),alpha_(1),alpha_(2)分别是A的对应于lambda_(1),lambda_(2)的单位特征向量，则与矩阵A+alpha_(1)alpha_(1)^T相似的对角矩阵为（）.(A)}lambda_(1)&00&lambda_(2)(C)}lambda_(1)&00&lambda_(2)+1

13.设2阶实对称矩阵A的特征值为$\lambda_{1},\lambda_{2},$且$\lambda_{1}\neq\lambda_{2},\alpha_{1},\alpha_{2}$分别是A的对应于$\lambda_{1},\lambda_{2}$的单位特征向量，则与矩阵$A+\alpha_{1}\alpha_{1}^{T}$相似的对角矩阵为（）. (A)$\begin{bmatrix}\lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2}\end{bmatrix}$ (B)$\begin{bmatrix}\lambda_{1}+1&0\\0&\lambda_{2}+1\end{bmatrix}$ (C)$\begin{bmatrix}\lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2}+1\end{bmatrix}$ (D)$\begin{bmatrix}\lambda_{1}+1&0\\0&\lambda_{2}\end{bmatrix}$

题目解答

答案

设 $ A $ 为 2 阶实对称矩阵，特征值为 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $（$ \lambda_1 \neq \lambda_2 $），对应单位特征向量分别为 $ \alpha_1 $ 和 $ \alpha_2 $。则 $ A\alpha_1 = \lambda_1\alpha_1 $，$ A\alpha_2 = \lambda_2\alpha_2 $，且 $ \alpha_1^T\alpha_2 = 0 $。考虑矩阵 $ B = A + \alpha_1\alpha_1^T $，计算其特征值： 1. 对 $ \alpha_1 $： $ B\alpha_1 = (A + \alpha_1\alpha_1^T)\alpha_1 = \lambda_1\alpha_1 + \alpha_1 = (\lambda_1 + 1)\alpha_1 $，特征值为 $ \lambda_1 + 1 $。 2. 对 $ \alpha_2 $： $ B\alpha_2 = (A + \alpha_1\alpha_1^T)\alpha_2 = \lambda_2\alpha_2 $，特征值为 $ \lambda_2 $。因此，$ B $ 与对角矩阵 $\boxed{\begin{pmatrix} \lambda_1 + 1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}}$ 相似，对应选项 **D**。

解析

考查要点：本题主要考查实对称矩阵的性质、特征值与特征向量的计算，以及矩阵相似变换的应用。

解题核心思路：

实对称矩阵的特征性质：实对称矩阵的特征值为实数，不同特征值对应的特征向量正交，且可正交相似对角化。
矩阵变换后的特征值分析：通过分析矩阵$B = A + \alpha_1 \alpha_1^T$在特征向量$\alpha_1$和$\alpha_2$上的作用，直接计算其特征值。
关键点：利用$\alpha_1$和$\alpha_2$的正交性和单位性，简化计算过程。

步骤1：分析矩阵$B$作用在$\alpha_1$上

$B\alpha_1 = (A + \alpha_1 \alpha_1^T)\alpha_1 = A\alpha_1 + \alpha_1 \alpha_1^T \alpha_1$
由于$\alpha_1$是单位向量，$\alpha_1^T \alpha_1 = 1$，且$A\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1$，因此：
$B\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1 + \alpha_1 = (\lambda_1 + 1)\alpha_1$
结论：$\alpha_1$是$B$的特征向量，对应特征值$\lambda_1 + 1$。

步骤2：分析矩阵$B$作用在$\alpha_2$上

$B\alpha_2 = (A + \alpha_1 \alpha_1^T)\alpha_2 = A\alpha_2 + \alpha_1 \alpha_1^T \alpha_2$
由于$\alpha_1$与$\alpha_2$正交，$\alpha_1^T \alpha_2 = 0$，且$A\alpha_2 = \lambda_2 \alpha_2$，因此：
$B\alpha_2 = \lambda_2 \alpha_2 + \alpha_1 \cdot 0 = \lambda_2 \alpha_2$
结论：$\alpha_2$是$B$的特征向量，对应特征值$\lambda_2$。

步骤3：构造相似对角矩阵

由于$\alpha_1$和$\alpha_2$正交且为单位向量，矩阵$B$可正交相似对角化为：
$\begin{bmatrix}\lambda_1 + 1 & 0 \\0 & \lambda_2\end{bmatrix}$
对应选项D。