13.设2阶实对称矩阵A的特征值为lambda_(1),lambda_(2),且lambda_(1)neqlambda_(2),alpha_(1),alpha_(2)分别是A的对应于lambda_(1),lambda_(2)的单位特征向量，则与矩阵A+alpha_(1)alpha_(1)^T相似的对角矩阵为（）.A. }lambda_(1)&00&lambda_(2)

考查要点：本题主要考查实对称矩阵的性质、特征值与特征向量的计算，以及矩阵相似变换的应用。

解题核心思路：

1. 实对称矩阵的特征性质：实对称矩阵的特征值为实数，不同特征值对应的特征向量正交，且可正交相似对角化。
2. 矩阵变换后的特征值分析：通过分析矩阵$B = A + \alpha_1 \alpha_1^T$在特征向量$\alpha_1$和$\alpha_2$上的作用，直接计算其特征值。
3. 关键点：利用$\alpha_1$和$\alpha_2$的正交性和单位性，简化计算过程。

步骤1：分析矩阵$B$作用在$\alpha_1$上

$B\alpha_1 = (A + \alpha_1 \alpha_1^T)\alpha_1 = A\alpha_1 + \alpha_1 \alpha_1^T \alpha_1$
由于$\alpha_1$是单位向量，$\alpha_1^T \alpha_1 = 1$，且$A\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1$，因此：
$B\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1 + \alpha_1 = (\lambda_1 + 1)\alpha_1$
结论：$\alpha_1$是$B$的特征向量，对应特征值$\lambda_1 + 1$。

步骤2：分析矩阵$B$作用在$\alpha_2$上

$B\alpha_2 = (A + \alpha_1 \alpha_1^T)\alpha_2 = A\alpha_2 + \alpha_1 \alpha_1^T \alpha_2$
由于$\alpha_1$与$\alpha_2$正交，$\alpha_1^T \alpha_2 = 0$，且$A\alpha_2 = \lambda_2 \alpha_2$，因此：
$B\alpha_2 = \lambda_2 \alpha_2 + \alpha_1 \cdot 0 = \lambda_2 \alpha_2$
结论：$\alpha_2$是$B$的特征向量，对应特征值$\lambda_2$。

步骤3：构造相似对角矩阵

由于$\alpha_1$和$\alpha_2$正交且为单位向量，矩阵$B$可正交相似对角化为：
$\begin{bmatrix}\lambda_1 + 1 & 0 \\0 & \lambda_2\end{bmatrix}$
对应选项D。