题目
单选题(4.0分)-|||-7.一质点沿x轴正向运动,其速度为 =asqrt (x) 式中a-|||-为正的常量,已知 t=0 时 =0 质点的速度随时间-|||-变化的规律是() ()-|||-A dfrac (alpha )(2)t-|||-B dfrac ({alpha )^2}(4)t-|||-C dfrac ({alpha )^2}(2)t-|||-D αt
题目解答
答案
解析
步骤 1：速度与位移的关系
已知质点的速度为 $v=\alpha \sqrt {x}$，其中 $\alpha$ 为正的常量。根据速度的定义，速度是位移对时间的导数，即 $v = \frac{dx}{dt}$。因此，可以将速度表达式写为 $\frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$。
步骤 2：分离变量并积分
将速度表达式 $\frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$ 分离变量，得到 $\frac{dx}{\sqrt{x}} = \alpha dt$。对两边进行积分，得到 $\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int \alpha dt$。左边的积分是 $\int x^{-\frac{1}{2}} dx = 2\sqrt{x}$，右边的积分是 $\alpha t + C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，有 $2\sqrt{x} = \alpha t + C$。
步骤 3：确定积分常数
已知 $t=0$ 时 $x=0$，代入上式得到 $2\sqrt{0} = \alpha \cdot 0 + C$，即 $C=0$。因此，有 $2\sqrt{x} = \alpha t$，即 $\sqrt{x} = \frac{\alpha t}{2}$。将 $\sqrt{x}$ 代入速度表达式 $v=\alpha \sqrt{x}$，得到 $v = \alpha \cdot \frac{\alpha t}{2} = \frac{\alpha^2 t}{2}$。
已知质点的速度为 $v=\alpha \sqrt {x}$，其中 $\alpha$ 为正的常量。根据速度的定义，速度是位移对时间的导数，即 $v = \frac{dx}{dt}$。因此，可以将速度表达式写为 $\frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$。
步骤 2：分离变量并积分
将速度表达式 $\frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$ 分离变量，得到 $\frac{dx}{\sqrt{x}} = \alpha dt$。对两边进行积分，得到 $\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int \alpha dt$。左边的积分是 $\int x^{-\frac{1}{2}} dx = 2\sqrt{x}$，右边的积分是 $\alpha t + C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，有 $2\sqrt{x} = \alpha t + C$。
步骤 3：确定积分常数
已知 $t=0$ 时 $x=0$，代入上式得到 $2\sqrt{0} = \alpha \cdot 0 + C$，即 $C=0$。因此，有 $2\sqrt{x} = \alpha t$，即 $\sqrt{x} = \frac{\alpha t}{2}$。将 $\sqrt{x}$ 代入速度表达式 $v=\alpha \sqrt{x}$，得到 $v = \alpha \cdot \frac{\alpha t}{2} = \frac{\alpha^2 t}{2}$。