判定级数sum_(n=2)^inftytan(pi)/(2^n)是收敛还是发散？（）A 收敛.B 发散.

当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{\pi}{2^n}$ 趋于 0，此时 $\tan x \approx x$。因此，$\tan \frac{\pi}{2^n} \approx \frac{\pi}{2^n}$。 考虑级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\pi}{2^n}$，其为收敛的几何级数（首项 $\frac{\pi}{4}$，公比 $\frac{1}{2}$）。 由比较审敛法，存在正整数 $N$，当 $n \geq N$ 时，$\tan \frac{\pi}{2^n} < \frac{\pi}{2^{n-1}}$，而 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\pi}{2^{n-1}}$ 收敛。 或使用极限比较审敛法，$\lim_{n \to \infty} \frac{\tan \frac{\pi}{2^n}}{\frac{\pi}{2^n}} = 1$，两级数敛散性相同。 因此，原级数收敛。 答案：$\boxed{A}$