设f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的（）。A. 充分必要条件B. 充分条件但非必要条件C. 必要条件但非充分条件D. 既非充分条件又非必要条件

考查要点：本题主要考查函数在某点可导的条件，涉及绝对值函数与可导性的关系，以及必要条件、充分条件的判断。

解题核心思路：

1. 分段讨论：由于$| \sin x |$在$x=0$附近左右两侧的表达式不同，需分别计算左右导数。
2. 导数定义：通过导数的定义式，结合$f(x)$可导的条件，推导出$F(x)$在$x=0$处可导的条件。
3. 等价性分析：通过左右导数相等的方程，得出$f(0)=0$是$F(x)$可导的充要条件。

破题关键点：

• 左右导数的计算：正确展开导数定义式，分离出$f(0)$和$f'(0)$的项。
• 方程求解：通过左右导数相等得出$f(0)=0$，并验证其必要性和充分性。

步骤1：计算右导数$F'_+(0)$
当$x \to 0^+$时，$\sin x \geq 0$，故$| \sin x | = \sin x$，此时：
$\begin{aligned}F'_+(0) &= \lim_{h \to 0^+} \frac{F(h) - F(0)}{h} \\&= \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)(1+\sin h) - f(0)}{h} \\&= \lim_{h \to 0^+} \left[ \frac{f(h) - f(0)}{h} \cdot (1+\sin h) + f(0) \cdot \frac{\sin h}{h} \right] \\&= f'(0) \cdot 1 + f(0) \cdot 1 \quad (\because \sin h \approx h) \\&= f'(0) + f(0).\end{aligned}$

步骤2：计算左导数$F'_-(0)$
当$x \to 0^-$时，$\sin x < 0$，故$| \sin x | = -\sin x$，此时：
$\begin{aligned}F'_-(0) &= \lim_{h \to 0^-} \frac{F(h) - F(0)}{h} \\&= \lim_{h \to 0^-} \frac{f(h)(1 - \sin h) - f(0)}{h} \\&= \lim_{h \to 0^-} \left[ \frac{f(h) - f(0)}{h} \cdot (1 - \sin h) - f(0) \cdot \frac{\sin h}{h} \right] \\&= f'(0) \cdot 1 - f(0) \cdot 1 \quad (\because \sin h \approx h) \\&= f'(0) - f(0).\end{aligned}$

步骤3：左右导数相等条件
$F(x)$在$x=0$处可导当且仅当$F'_+(0) = F'_-(0)$，即：
$f'(0) + f(0) = f'(0) - f(0) \implies 2f(0) = 0 \implies f(0) = 0.$

结论：
$f(0)=0$是$F(x)$在$x=0$处可导的充要条件。