题目
2-24 一物体自地球表面以速率v0竖直上抛假定空气对物体阻力的值为 _(1)=km(v)^2, 式-|||-中m为物体的质量,k为常量.试求:(1)该物体能上升的高度;(2)物体返回地面时速度的-|||-值.(设重力加速度为常量.)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定物体上升过程中的受力情况
物体在上升过程中受到重力和空气阻力的作用，重力方向向下，空气阻力方向也向下，因为物体向上运动。因此，物体受到的合力为 $F_{合} = -mg - kmv^2$。
步骤 2：利用牛顿第二定律求解物体的加速度
根据牛顿第二定律 $F_{合} = ma$，可以得到物体的加速度 $a = -g - kv^2$。由于加速度是速度对时间的导数，即 $a = \frac{dv}{dt}$，因此有 $\frac{dv}{dt} = -g - kv^2$。
步骤 3：求解物体上升的最大高度
为了求解物体上升的最大高度，需要将速度 $v$ 表示为高度 $h$ 的函数。利用速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数等于速度 $v$ 对高度 $h$ 的导数乘以速度 $v$，即 $\frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{dh}$，可以将上述方程改写为 $v\frac{dv}{dh} = -g - kv^2$。分离变量并积分，得到 $\int_{v_0}^{0} \frac{v}{g + kv^2} dv = -\int_{0}^{h} dh$。解这个积分，得到 $h = \frac{1}{2k} \ln \left( \frac{g + kv_0^2}{g} \right)$。
步骤 4：求解物体返回地面时的速度
物体返回地面时，其速度方向与上升时相反，但大小相同。因此，物体返回地面时的速度 $v$ 满足 $v = v_0 \left(1 + \frac{kv_0^2}{g}\right)^{-1/2}$。
物体在上升过程中受到重力和空气阻力的作用，重力方向向下，空气阻力方向也向下，因为物体向上运动。因此，物体受到的合力为 $F_{合} = -mg - kmv^2$。
步骤 2：利用牛顿第二定律求解物体的加速度
根据牛顿第二定律 $F_{合} = ma$，可以得到物体的加速度 $a = -g - kv^2$。由于加速度是速度对时间的导数，即 $a = \frac{dv}{dt}$，因此有 $\frac{dv}{dt} = -g - kv^2$。
步骤 3：求解物体上升的最大高度
为了求解物体上升的最大高度，需要将速度 $v$ 表示为高度 $h$ 的函数。利用速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数等于速度 $v$ 对高度 $h$ 的导数乘以速度 $v$，即 $\frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{dh}$，可以将上述方程改写为 $v\frac{dv}{dh} = -g - kv^2$。分离变量并积分，得到 $\int_{v_0}^{0} \frac{v}{g + kv^2} dv = -\int_{0}^{h} dh$。解这个积分，得到 $h = \frac{1}{2k} \ln \left( \frac{g + kv_0^2}{g} \right)$。
步骤 4：求解物体返回地面时的速度
物体返回地面时，其速度方向与上升时相反，但大小相同。因此，物体返回地面时的速度 $v$ 满足 $v = v_0 \left(1 + \frac{kv_0^2}{g}\right)^{-1/2}$。