题目

有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率；（2）需作第二次检验的概率；（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率；（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率；（5）这批产品被接受的概率。

有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10%，求

（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率；

（2）需作第二次检验的概率；

（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率；

（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率；

（5）这批产品被接受的概率。

题目解答

答案

设 $X$ 表示第一次检验中所含的次品数，显然 $X$ 服从二项分布，记作 $X\sim B\left(10,0.1\right)$ 。

设 $Y$ 表示第二次检验中所含的次品数，显然 $Y$ 服从二项分布，记作 $Y\sim B\left(5,0.1\right)$ 。

（1）经第一次检验就能接受的概率为：

$P\left\{X=0\right\}=C_{10}^0\times\left(0.1\right)^0\times\left(0.9\right)^{10}=0.349$

（2）需作第二次检验的概率为：

$P\left\{1\le X\le2\right\}=P\left\{X=1\right\}+P\left\{X=2\right\}$

$\Longrightarrow P\left\{1\le X\le2\right\}=C_{10}^1\times0.1\times0.9^9+$ $C_{10}^2\times0.1^2\times0.9^8=0.581$

（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率为：

$P\left\{Y=0\right\}=C_5^0\times\left(0.1\right)^0\times0.9^5=0.590$

（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率为：

$P\left\{\left(1\le X\le2\right)\cap\left(Y=0\right)\right\}$

∵ $X,Y$ 的取值是简单随机抽样中“任取”这种抽样方式的结果，它们之间是相互独立的，从而可知事件 $\left\{1\le X\le2\right\}$ 和 $\left\{Y=0\right\}$ 是相互独立的。

∴ $P\left\{\left(1\le X\le2\right)\cap\left(Y=0\right)\right\}$ $=P\left\{1\le X\le2\right\}P\left\{Y=0\right\}$

$\begin{matrix}\begin{aligned}\Longrightarrow P\left\{\left(1\le X\le2\right)\cap\left(Y=0\right)\right\}&=0.581\times0.590\newline &=0.343 \end{aligned}\end{matrix}$

（5）这批产品被接受的概率为：

$P\left\{\left(X=0\right)\cup\left[\left(1\le X\le2\right)\cap\left(Y=0\right)\right]\right\}=$ $P\left\{X=0\right\}+P\left\{\left(1\le X\le2\right)\cap\left(Y=0\right)\right\}$

$\Longrightarrow P\left\{\left(X=0\right)\cup\left[\left(1\le X\le2\right)\cap\left(Y=0\right)\right]\right\}=$

$0.349+0.343=0.692$

综上所述，即可求出本题5个小问的答案：

（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率为0.349

（2）需作第二次检验的概率为0.581

（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率为0.590

（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率为0.343

（5）这批产品被接受的概率为0.692