题目
曲线Y=xlnx的平行于直线x—Y+1=0的切线方程为( )A. y=x一1B. y=-(x+1)C. y=(lnx-1)(x-1)D. y=x
曲线Y=xlnx的平行于直线x—Y+1=0的切线方程为( )
A. y=x一1
B. y=-(x+1)
C. y=(lnx-1)(x-1)
D. y=x
题目解答
答案
A. y=x一1
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出曲线 \(y = x\ln x\) 的导数，以确定其在任意点的斜率。根据乘积法则，我们有：
\[y' = \frac{d}{dx}(x\ln x) = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1\]
步骤 2：确定切线斜率
题目要求切线平行于直线 \(x - y + 1 = 0\)，即斜率为1。因此，我们需要找到曲线 \(y = x\ln x\) 上斜率为1的点。根据步骤1中的导数，我们有：
\[\ln x + 1 = 1\]
解得：
\[\ln x = 0\]
\[x = e^0 = 1\]
因此，切点的横坐标为1。
步骤 3：求切点的纵坐标
将 \(x = 1\) 代入原方程 \(y = x\ln x\)，得到：
\[y = 1\ln 1 = 0\]
所以，切点为 (1, 0)。
步骤 4：写出切线方程
已知切线斜率为1，切点为 (1, 0)，根据点斜式方程 \(y - y_1 = m(x - x_1)\)，我们有：
\[y - 0 = 1(x - 1)\]
\[y = x - 1\]
首先，我们需要求出曲线 \(y = x\ln x\) 的导数，以确定其在任意点的斜率。根据乘积法则，我们有：
\[y' = \frac{d}{dx}(x\ln x) = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1\]
步骤 2：确定切线斜率
题目要求切线平行于直线 \(x - y + 1 = 0\)，即斜率为1。因此，我们需要找到曲线 \(y = x\ln x\) 上斜率为1的点。根据步骤1中的导数，我们有：
\[\ln x + 1 = 1\]
解得：
\[\ln x = 0\]
\[x = e^0 = 1\]
因此，切点的横坐标为1。
步骤 3：求切点的纵坐标
将 \(x = 1\) 代入原方程 \(y = x\ln x\)，得到：
\[y = 1\ln 1 = 0\]
所以，切点为 (1, 0)。
步骤 4：写出切线方程
已知切线斜率为1，切点为 (1, 0)，根据点斜式方程 \(y - y_1 = m(x - x_1)\)，我们有：
\[y - 0 = 1(x - 1)\]
\[y = x - 1\]