题目
由正弦曲线 =sin x,xin [ 0,pi ] 绕x轴旋转一周所得的-|||-旋转体的体积是 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定旋转体的体积公式
旋转体的体积可以通过积分计算，对于绕x轴旋转的曲线$y=f(x)$，其旋转体的体积$V$可以表示为：
$$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$$
其中，$a$和$b$是积分的上下限，对于本题，$a=0$，$b=\pi$，$f(x)=\sin x$。
步骤 2：代入函数和积分区间
将$y=\sin x$代入体积公式，得到：
$$V = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx$$
步骤 3：计算积分
利用三角恒等式$\sin^2 x = \frac{1}{2}(1-\cos 2x)$，将积分式转换为：
$$V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(1-\cos 2x) dx$$
$$V = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1-\cos 2x) dx$$
$$V = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2}\sin 2x \right]_{0}^{\pi}$$
$$V = \frac{\pi}{2} \left[ (\pi - \frac{1}{2}\sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2}\sin 0) \right]$$
$$V = \frac{\pi}{2} \left[ \pi - 0 \right]$$
$$V = \frac{\pi^2}{2}$$
旋转体的体积可以通过积分计算，对于绕x轴旋转的曲线$y=f(x)$，其旋转体的体积$V$可以表示为：
$$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$$
其中，$a$和$b$是积分的上下限，对于本题，$a=0$，$b=\pi$，$f(x)=\sin x$。
步骤 2：代入函数和积分区间
将$y=\sin x$代入体积公式，得到：
$$V = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx$$
步骤 3：计算积分
利用三角恒等式$\sin^2 x = \frac{1}{2}(1-\cos 2x)$，将积分式转换为：
$$V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(1-\cos 2x) dx$$
$$V = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1-\cos 2x) dx$$
$$V = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2}\sin 2x \right]_{0}^{\pi}$$
$$V = \frac{\pi}{2} \left[ (\pi - \frac{1}{2}\sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2}\sin 0) \right]$$
$$V = \frac{\pi}{2} \left[ \pi - 0 \right]$$
$$V = \frac{\pi^2}{2}$$