题目
甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
题目解答
答案
解：（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为：P1=0.5×0.4×0.8=0.16，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44，
所以甲学校获得冠军的概率为：P=P1+P2=0.6；
（2）乙学校的总得分X的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
P（X=0）=0.5×0.4×0.8=0.16，
P（X=10）=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44，
P（X=20）=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，
P（X=30）=0.5×0.6×0.2=0.06，
则X的分布列为：
X的期望EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13．
| 第一场比赛 | 第二场比赛 | 第三场比赛 | |
| 甲学校获胜概率 | 0.5 | 0.4 | 0.8 |
| 乙学校获胜概率 | 0.5 | 0.6 | 0.2 |
①甲学校3场全胜，概率为：P1=0.5×0.4×0.8=0.16，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44，
所以甲学校获得冠军的概率为：P=P1+P2=0.6；
（2）乙学校的总得分X的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
P（X=0）=0.5×0.4×0.8=0.16，
P（X=10）=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44，
P（X=20）=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，
P（X=30）=0.5×0.6×0.2=0.06，
则X的分布列为：
| X | 0 | 10 | 20 | 30 |
| P | 0.16 | 0.44 | 0.34 | 0.06 |
解析
步骤 1：计算甲学校获得冠军的概率
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场。甲学校获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，乙学校获胜的概率分别为0.5，0.6，0.2。甲学校获得冠军的情况包括：甲学校3场全胜，甲学校3场获胜2场败1场。
步骤 2：计算甲学校3场全胜的概率
甲学校3场全胜的概率为：P_1=0.5×0.4×0.8=0.16。
步骤 3：计算甲学校3场获胜2场败1场的概率
甲学校3场获胜2场败1场的概率为：P_2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44。
步骤 4：计算甲学校获得冠军的总概率
甲学校获得冠军的总概率为：P=P_1+P_2=0.16+0.44=0.6。
步骤 5：计算乙学校总得分X的分布列
乙学校的总得分X的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
P（X=0）=0.5×0.4×0.8=0.16，
P（X=10）=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44，
P（X=20）=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，
P（X=30）=0.5×0.6×0.2=0.06。
步骤 6：计算乙学校总得分X的期望
X的期望EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13。
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场。甲学校获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，乙学校获胜的概率分别为0.5，0.6，0.2。甲学校获得冠军的情况包括：甲学校3场全胜，甲学校3场获胜2场败1场。
步骤 2：计算甲学校3场全胜的概率
甲学校3场全胜的概率为：P_1=0.5×0.4×0.8=0.16。
步骤 3：计算甲学校3场获胜2场败1场的概率
甲学校3场获胜2场败1场的概率为：P_2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44。
步骤 4：计算甲学校获得冠军的总概率
甲学校获得冠军的总概率为：P=P_1+P_2=0.16+0.44=0.6。
步骤 5：计算乙学校总得分X的分布列
乙学校的总得分X的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
P（X=0）=0.5×0.4×0.8=0.16，
P（X=10）=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44，
P（X=20）=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，
P（X=30）=0.5×0.6×0.2=0.06。
步骤 6：计算乙学校总得分X的期望
X的期望EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13。