甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

考查要点：本题主要考查独立事件的概率计算、二项分布的应用以及离散型随机变量的分布列与期望。

解题思路：

1. 甲获得冠军的条件：甲总得分高于乙，即甲至少赢2个比赛项目。需计算甲赢2场或3场的所有可能情况的概率之和。
2. 乙的总得分分布：乙的得分由赢的场数决定（每赢1场得10分）。需列出乙赢0、1、2、3场的所有可能组合及其对应概率，再计算期望。

关键点：

• 独立事件概率相乘：各项目结果独立，组合概率为各单场概率乘积。
• 分类讨论：甲赢2场或3场需分情况讨论，乙的得分需对应甲输的场数。

第（1）题

甲获得冠军的条件：甲总得分高于乙，即甲至少赢2场。

情况1：甲赢3场

概率为：
$P_1 = 0.5 \times 0.4 \times 0.8 = 0.16$

情况2：甲赢2场，输1场

需考虑输的不同场次：

1. 输第1场：概率为 $0.5 \times 0.4 \times 0.8 = 0.16$
2. 输第2场：概率为 $0.5 \times 0.6 \times 0.8 = 0.24$
3. 输第3场：概率为 $0.5 \times 0.4 \times 0.2 = 0.04$
   总概率为：
   $P_2 = 0.16 + 0.24 + 0.04 = 0.44$

总概率：
$P = P_1 + P_2 = 0.16 + 0.44 = 0.6$

第（2）题

乙的总得分X的可能取值：0、10、20、30，对应乙赢0、1、2、3场。

X=0（乙赢0场）

甲赢3场：
$P(X=0) = 0.5 \times 0.4 \times 0.8 = 0.16$

X=10（乙赢1场）

甲赢2场，乙赢1场：
$\begin{aligned}P(X=10) &= 0.5 \times 0.4 \times 0.2 \quad (\text{乙赢第3场}) \\&\quad + 0.5 \times 0.6 \times 0.8 \quad (\text{乙赢第2场}) \\&\quad + 0.5 \times 0.4 \times 0.8 \quad (\text{乙赢第1场}) \\&= 0.04 + 0.24 + 0.16 = 0.44\end{aligned}$

X=20（乙赢2场）

甲赢1场，乙赢2场：
$\begin{aligned}P(X=20) &= 0.5 \times 0.6 \times 0.8 \quad (\text{乙赢第1、2场}) \\&\quad + 0.5 \times 0.4 \times 0.2 \quad (\text{乙赢第1、3场}) \\&\quad + 0.5 \times 0.6 \times 0.2 \quad (\text{乙赢第2、3场}) \\&= 0.24 + 0.04 + 0.06 = 0.34\end{aligned}$

X=30（乙赢3场）

甲赢0场：
$P(X=30) = 0.5 \times 0.6 \times 0.2 = 0.06$

期望计算：
$\begin{aligned}E(X) &= 0 \times 0.16 + 10 \times 0.44 + 20 \times 0.34 + 30 \times 0.06 \\&= 0 + 4.4 + 6.8 + 1.8 = 13\end{aligned}$