设函数f(x)和 g (x)可导,且 ^2(x)+(g)^2(x)neq 0, 试求函数 =sqrt ({f)^2(x)+(g)^2(x)} 的-|||-导数.

考查要点：本题主要考查复合函数的求导法则，特别是链式法则的应用，以及对平方根函数和多项式函数的导数计算。

解题核心思路：
将函数 $y = \sqrt{f^2(x) + g^2(x)}$ 看作外层平方根函数与内层函数 $u = f^2(x) + g^2(x)$ 的复合结构，先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。内层函数的导数需要分别对 $f^2(x)$ 和 $g^2(x)$ 使用乘积法则。

破题关键点：

1. 识别复合结构：明确外层函数为 $\sqrt{u}$，内层函数为 $u = f^2(x) + g^2(x)$。
2. 链式法则应用：外层导数为 $\frac{1}{2\sqrt{u}}$，内层导数为 $2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x)$。
3. 化简结果：通过约分简化最终表达式。

步骤1：设内层函数
令 $u = f^2(x) + g^2(x)$，则原函数可表示为 $y = \sqrt{u}$。

步骤2：对整体函数求导
根据链式法则，$y'$ 的表达式为：
$y' = \frac{d}{dx} \sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx}$

步骤3：计算内层函数的导数
对 $u = f^2(x) + g^2(x)$ 求导：
$\frac{du}{dx} = 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x)$

步骤4：代入并化简
将 $\frac{du}{dx}$ 代入链式法则的结果：
$y' = \frac{1}{2\sqrt{f^2(x) + g^2(x)}} \cdot \left[ 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x) \right]$
分子中的 $2$ 与分母中的 $2$ 约分，得到最终结果：
$y' = \frac{f(x)f'(x) + g(x)g'(x)}{\sqrt{f^2(x) + g^2(x)}}$