题目
设函数f(x)=x^3+ax^2+bx在x=-1处取得极小值-2，求常数a和b。
设函数$$f(x)=x^3+ax^2+bx$$在$$x=-1$$处取得极小值-2，求常数a和b。
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数$f(x)=x^3+ax^2+bx$的导数$f'(x)$。根据导数的定义，我们有$f'(x)=3x^2+2ax+b$。
步骤 2：利用极值条件
由于函数在$x=-1$处取得极小值，这意味着$f'(-1)=0$。将$x=-1$代入$f'(x)$，我们得到$3(-1)^2+2a(-1)+b=0$，即$3-2a+b=0$。
步骤 3：利用极值点的函数值
由于函数在$x=-1$处取得极小值-2，这意味着$f(-1)=-2$。将$x=-1$代入$f(x)$，我们得到$(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)=-2$，即$-1+a-b=-2$。
步骤 4：解方程组
现在我们有两个方程：$3-2a+b=0$和$-1+a-b=-2$。我们可以通过解这个方程组来找到$a$和$b$的值。
步骤 5：求解
解方程组$\left \{ \begin{matrix} 3-2a+b=0\\ -1+a-b=-2\end{matrix} \right.$，我们得到$\left \{ \begin{matrix} a=4\\ b=5\end{matrix} \right.$。
首先，我们需要求出函数$f(x)=x^3+ax^2+bx$的导数$f'(x)$。根据导数的定义，我们有$f'(x)=3x^2+2ax+b$。
步骤 2：利用极值条件
由于函数在$x=-1$处取得极小值，这意味着$f'(-1)=0$。将$x=-1$代入$f'(x)$，我们得到$3(-1)^2+2a(-1)+b=0$，即$3-2a+b=0$。
步骤 3：利用极值点的函数值
由于函数在$x=-1$处取得极小值-2，这意味着$f(-1)=-2$。将$x=-1$代入$f(x)$，我们得到$(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)=-2$，即$-1+a-b=-2$。
步骤 4：解方程组
现在我们有两个方程：$3-2a+b=0$和$-1+a-b=-2$。我们可以通过解这个方程组来找到$a$和$b$的值。
步骤 5：求解
解方程组$\left \{ \begin{matrix} 3-2a+b=0\\ -1+a-b=-2\end{matrix} \right.$，我们得到$\left \{ \begin{matrix} a=4\\ b=5\end{matrix} \right.$。