题目
3.(填空题,5.0分)-|||-[1][2] 4 77-|||-2-|||-已知向量组S: 0 3 , 5 8 则由向量组S生成的向量空间维数= ()-|||-0 0 6 9
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造矩阵
构造由向量组S构成的矩阵，即：
\[ A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 7 \\
0 & 3 & 8 \\
0 & 6 & 9
\end{pmatrix} \]
步骤 2：化简为阶梯形矩阵
对矩阵A进行行变换，化简为阶梯形矩阵。首先，观察到第二行和第三行的前两列已经为阶梯形，只需处理第三列。由于第三列的第二行和第三行元素分别为8和9，我们可以通过行变换使第三行的第三列元素为0。具体操作为：将第三行减去第二行的两倍，得到：
\[ A' = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 7 \\
0 & 3 & 8 \\
0 & 0 & -7
\end{pmatrix} \]
步骤 3：确定矩阵的秩
矩阵A'已经是阶梯形矩阵，非零行数为3，即矩阵A的秩为3。这意味着向量组S的秩为3，即向量组S中任一向量都可由其它三个向量线性表示，即其中任三个向量组成一个极大线性无关组，可构成三维实向量空间。
构造由向量组S构成的矩阵，即：
\[ A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 7 \\
0 & 3 & 8 \\
0 & 6 & 9
\end{pmatrix} \]
步骤 2：化简为阶梯形矩阵
对矩阵A进行行变换，化简为阶梯形矩阵。首先，观察到第二行和第三行的前两列已经为阶梯形，只需处理第三列。由于第三列的第二行和第三行元素分别为8和9，我们可以通过行变换使第三行的第三列元素为0。具体操作为：将第三行减去第二行的两倍，得到：
\[ A' = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 7 \\
0 & 3 & 8 \\
0 & 0 & -7
\end{pmatrix} \]
步骤 3：确定矩阵的秩
矩阵A'已经是阶梯形矩阵，非零行数为3，即矩阵A的秩为3。这意味着向量组S的秩为3，即向量组S中任一向量都可由其它三个向量线性表示，即其中任三个向量组成一个极大线性无关组，可构成三维实向量空间。