题目

判定函数f（x）=sin3x-cos2x+tan（4x+1）的周期．

判定函数f（x）=sin3x-cos2x+tan（4x+1）的周期．

题目解答

答案

解：设y1=sin3x，可得它的最小正周期为T1=$\frac{2π}{3}$，
y2=cos2x，则它的最小正周期T2=$\frac{2π}{2}$=π，
y3=tan（4x+1）的最小正周期T3=$\frac{π}{4}$，
所以函数f（x）=sin3x-cos2x+tan（4x+1）的周期为T1，T2，T3的最小公倍数$\frac{8π}{12}×3$，$\frac{12π}{12}$×2，$\frac{3π}{12}$×8，即2π，
即函数f（x）的最小正周期T=2π．

解析

考查要点：本题主要考查三角函数周期性的判断，涉及正弦函数、余弦函数、正切函数的周期公式，以及多个周期函数组合后的最小正周期求解方法。

解题核心思路：

  1. 分别求出各组成部分的最小正周期：利用基本三角函数周期公式，确定每个简单函数的周期。
  2. 求最小公倍数：将各周期转换为分数形式，找到它们的最小公倍数作为组合函数的最小正周期。

破题关键点：

  • 周期公式应用：正弦、余弦函数周期为$\frac{2π}{|k|}$，正切函数周期为$\frac{π}{|k|}$。
  • 最小公倍数计算：需将各周期表示为分数形式，统一分母后，分子取最小公倍数，再还原为周期。

  1. 求各组成部分的周期

    • $y_1 = \sin 3x$：周期$T_1 = \frac{2π}{3}$。
    • $y_2 = \cos 2x$：周期$T_2 = \frac{2π}{2} = π$。
    • $y_3 = \tan(4x+1)$：周期$T_3 = \frac{π}{4}$。

  2. 求最小公倍数

    • 将周期统一为以$π$为单位的分数形式：
      $T_1 = \frac{2π}{3} = \frac{8π}{12}$，$T_2 = π = \frac{12π}{12}$，$T_3 = \frac{π}{4} = \frac{3π}{12}$。
    • 分子部分$8, 12, 3$的最小公倍数为$24$，因此最小公倍数为$\frac{24π}{12} = 2π$。