1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：(1)oint_(L)(2xy-x^2)dx+(x+y^2)dy，其中L是由抛物线y=x^2和y^2=x所围成的区域的正向边界曲线；

为了计算曲线积分$\oint_{L}(2xy-x^{2})dx+(x+y^{2})dy$，其中$L$是由抛物线$y=x^2$和$y^2=x$所围成的区域的正向边界曲线，我们将使用格林公式。格林公式表明，对于一个正向、分段光滑、简单闭合曲线$L$和由$L$所围成的区域$D$，如果$P$和$Q$在包含$D$的开区域内具有连续的偏导数，那么 \[ \oint_{L} P\, dx + Q\, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 这里，$P(x,y) = 2xy - x^2$和$Q(x,y) = x + y^2$。我们首先计算偏导数$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2x. \] 因此，格林公式下的被积函数为 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - 2x. \] 接下来，我们需要确定区域$D$。抛物线$y = x^2$和$y^2 = x$的交点通过解方程$y = x^2$和$y^2 = x$找到： \[ (x^2)^2 = x \implies x^4 = x \implies x(x^3 - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ 或 } x = 1. \] 因此，交点是$(0,0)$和$(1,1)$。区域$D$可以描述为 \[ D = \{(x,y) \mid 0 \leq x \leq 1, x^2 \leq y \leq \sqrt{x}\}. \] 我们现在可以计算二重积分： \[ \iint_{D} (1 - 2x) \, dA = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (1 - 2x) \, dy \, dx. \] 我们首先对$y$进行积分： \[ \int_{x^2}^{\sqrt{x}} (1 - 2x) \, dy = (1 - 2x) \left[ y \right]_{x^2}^{\sqrt{x}} = (1 - 2x)(\sqrt{x} - x^2). \] 接下来，我们对$x$进行积分： \[ \int_{0}^{1} (1 - 2x)(\sqrt{x} - x^2) \, dx = \int_{0}^{1} \left( \sqrt{x} - x^2 - 2x\sqrt{x} + 2x^3 \right) \, dx. \] 我们可以将这个积分分为四个独立的积分： \[ \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx - 2 \int_{0}^{1} x\sqrt{x} \, dx + 2 \int_{0}^{1} x^3 \, dx. \] 我们分别计算每个积分： \[ \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx = \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}, \] \[ \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}, \] \[ 2 \int_{0}^{1} x\sqrt{x} \, dx = 2 \int_{0}^{1} x^{3/2} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_{0}^{1} = \frac{4}{5}, \] \[ 2 \int_{0}^{1} x^3 \, dx = 2 \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}. \] 将所有这些结果组合起来，我们得到 \[ \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{4}{5} + \frac{1}{2} = \frac{20}{30} - \frac{10}{30} - \frac{24}{30} + \frac{15}{30} = \frac{1}{30}. \] 因此，曲线积分的值为 \[ \boxed{\frac{1}{30}}. \]