单边题 (20.0办)-|||-1.微分方程 ''+2y'+y=x(e)^-x-|||-的特解形式应设为() ()-|||-A =(x)^2(ax+b)(e)^-x-|||-B *=(ax+b)(e)^-x-|||-C '=(ax+b)(e)^-x-|||-D . =a(x)^2(e)^-x

考查要点：本题主要考查二阶线性非齐次微分方程特解形式的设定方法，涉及特征方程的求解及非齐次项与齐次解重复时的处理方式。

解题核心思路：

1. 求齐次方程的特征根：通过特征方程确定齐次解的形式。
2. 判断非齐次项与齐次解的关系：若非齐次项形式与齐次解中的项重复，则需提高特解的多项式次数。
3. 设定特解形式：根据重复次数确定特解中应乘的幂次，并匹配非齐次项的多项式次数。

破题关键点：

• 特征根为二重根：齐次方程的特征根为$\lambda_1 = \lambda_2 = -1$，对应齐次解为$(C_1 + C_2 x)e^{-x}$。
• 非齐次项与齐次解重复：非齐次项$x e^{-x}$中的$e^{-x}$与齐次解中的项重复，且重复次数为2（因齐次解包含$e^{-x}$和$x e^{-x}$），因此特解需乘以$x^2$。

步骤1：求齐次方程的特征根

齐次方程为$y'' + 2y' + y = 0$，对应特征方程：
$\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0$
解得二重根：
$\lambda_1 = \lambda_2 = -1$
因此，齐次解为：
$y_h = (C_1 + C_2 x)e^{-x}$

步骤2：分析非齐次项与齐次解的关系

非齐次项为$x e^{-x}$，其中$e^{-x}$与齐次解中的$e^{-x}$和$x e^{-x}$项重复。由于特征根为二重根（重复次数为2），根据规则，特解形式需乘以$x^2$，并匹配非齐次项的多项式次数（一次多项式$ax + b$）。

步骤3：设定特解形式

特解形式应为：
$y_p = x^2 (ax + b)e^{-x}$
对应选项A。