分) 设 (x)=(int )_({x)^2}dfrac (t)(sqrt {1+{t)^3}}dt 求 =(int )_(0)^1xF(x)dx

本题考查变上限积分的求导和分部积分法的应用，以及交换积分次序的技巧。解题的核心思路在于将原积分转化为更易处理的形式，通过分部积分或交换积分次序简化计算。关键在于正确处理积分上下限与变量之间的关系，并灵活运用变量替换。

方法一：分部积分法

1. 设定变量
   设 $u = F(x)$，$dv = x \, dx$，则 $v = \frac{x^2}{2}$。

2. 求导数 $F'(x)$
   根据变上限积分求导法则：
   $F'(x) = \frac{d}{dx} \int_{x^2}^1 \frac{t}{\sqrt{1+t^3}} dt = -\frac{x^2}{\sqrt{1+x^6}} \cdot 2x = -\frac{2x^3}{\sqrt{1+x^6}}$

3. 分部积分公式
   应用分部积分公式：
   $I = \left. \frac{x^2}{2} F(x) \right|_0^1 + \int_0^1 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2x^3}{\sqrt{1+x^6}} dx$
   其中第一项为 $0$，剩余部分化简为：
   $I = \int_0^1 \frac{x^5}{\sqrt{1+x^6}} dx$

4. 变量替换
   令 $u = 1+x^6$，则 $du = 6x^5 dx$，积分变为：
   $I = \frac{1}{6} \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{3} \left( \sqrt{2} - 1 \right)$

方法二：交换积分次序

1. 原积分形式
   $I = \int_0^1 x \left( \int_{x^2}^1 \frac{t}{\sqrt{1+t^3}} dt \right) dx$

2. 交换积分次序
   积分区域为 $0 \leq x \leq 1$，$x^2 \leq t \leq 1$，交换后 $0 \leq t \leq 1$，$0 \leq x \leq \sqrt{t}$：
   $I = \int_0^1 \frac{t}{\sqrt{1+t^3}} \left( \int_0^{\sqrt{t}} x \, dx \right) dt$

3. 计算内部积分
   $\int_0^{\sqrt{t}} x \, dx = \frac{t}{2}$

4. 化简并积分
   $I = \int_0^1 \frac{t^2}{2\sqrt{1+t^3}} dt$
   令 $u = 1+t^3$，则 $du = 3t^2 dt$，积分变为：
   $I = \frac{1}{6} \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{3} \left( \sqrt{2} - 1 \right)$