2/20 单选题 关于二元函数z=f(x,y) 在一点处连续、可导及可微的关系，下列说法正确的是（）。A. 若函数z=f(x,y)在一点处连续，必该点处两个偏导数都存在；B. 若函数z=f(x,y)在一点处可微，必在该点处两个偏导数都存在.C. 若函数z=f(x,y)在一点处两个偏导数都存在，必在该点处可微；D. 若函数z=f(x,y)在一点处两个偏导数都存在，必在该点处连续；

考查要点：本题主要考查二元函数在一点处连续、偏导数存在、可微三者之间的关系，需明确各概念的定义及相互蕴含关系。

解题核心思路：

1. 可微的必要条件是偏导数存在，但偏导数存在不能保证可微（需额外条件如偏导数连续）。
2. 连续性与偏导数存在、可微之间无直接必然联系：可微一定连续，但连续不一定可微，偏导数存在也不保证连续。

破题关键点：

• 选项B直接对应可微的必要条件（偏导数存在），是唯一正确选项。
• 其余选项均涉及常见误区（如“连续⇒偏导存在”“偏导存在⇒可微/连续”），需通过反例排除。

选项分析

选项A

若函数连续，则偏导数存在

• 错误。连续性与偏导数存在无必然联系。例如，函数在某点连续但偏导数不存在的情况是可能的。

选项B

若函数可微，则偏导数存在

• 正确。根据可微定义，函数在某点可微时，其偏导数必然存在（可微的必要条件）。

选项C

若偏导数存在，则函数可微

• 错误。偏导数存在仅是可微的必要条件，而非充分条件。例如，偏导数存在但不连续时，函数不可微。

选项D

若偏导数存在，则函数连续

• 错误。偏导数存在不能保证函数连续。例如，函数在某点有偏导数，但沿不同路径趋近该点时极限不同，导致不连续。