题目
4.设有向量组:alpha_(1)=(1+a,1,1,1)^T,alpha_(2)=(2,2+a,2,2)^T,alpha_(3)=(3,3,3+a,3)^T,alpha_(4)=(4,4,4,4+a)^T.问a为何值时，alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),alpha_(4)线性相关?当alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),alpha_(4)线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
4.设有向量组:
$\alpha_{1}=(1+a,1,1,1)^{T},\alpha_{2}=(2,2+a,2,2)^{T},$
$\alpha_{3}=(3,3,3+a,3)^{T},\alpha_{4}=(4,4,4,4+a)^{T}.$
问a为何值时，$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$线性相关?当$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
题目解答
答案
计算向量组的行列式：
\[
\det(A) = a^3(a+4).
\]
令 $\det(A) = 0$，解得 $a = 0$ 或 $a = -4$。
**当 $a = 0$ 时：**
矩阵 $A$ 秩为1，$\alpha_1$ 为极大无关组，其余向量为 $\alpha_2 = 2\alpha_1$，$\alpha_3 = 3\alpha_1$，$\alpha_4 = 4\alpha_1$。
**当 $a = -4$ 时：**
矩阵 $A$ 秩为3，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为极大无关组，$\alpha_4 = -\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3$。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
a = 0: & \alpha_1 \text{为极大无关组，} \alpha_2 = 2\alpha_1, \alpha_3 = 3\alpha_1, \alpha_4 = 4\alpha_1； \\
a = -4: & \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \text{为极大无关组，} \alpha_4 = -\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3。
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：构造矩阵
构造矩阵 $A$，其列向量为 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$，即
\[ A = \begin{pmatrix} 1+a & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2+a & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3+a & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4+a \end{pmatrix}. \]
步骤 2：计算行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$，得到
\[ \det(A) = a^3(a+4). \]
步骤 3：求解线性相关条件
令 $\det(A) = 0$，解得 $a = 0$ 或 $a = -4$。当 $a = 0$ 或 $a = -4$ 时，向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$ 线性相关。
步骤 4：讨论极大无关组
**当 $a = 0$ 时：** 矩阵 $A$ 秩为1，$\alpha_1$ 为极大无关组，其余向量为 $\alpha_2 = 2\alpha_1$，$\alpha_3 = 3\alpha_1$，$\alpha_4 = 4\alpha_1$。
**当 $a = -4$ 时：** 矩阵 $A$ 秩为3，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为极大无关组，$\alpha_4 = -\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3$。
构造矩阵 $A$，其列向量为 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$，即
\[ A = \begin{pmatrix} 1+a & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2+a & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3+a & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4+a \end{pmatrix}. \]
步骤 2：计算行列式
计算矩阵 $A$ 的行列式 $\det(A)$，得到
\[ \det(A) = a^3(a+4). \]
步骤 3：求解线性相关条件
令 $\det(A) = 0$，解得 $a = 0$ 或 $a = -4$。当 $a = 0$ 或 $a = -4$ 时，向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$ 线性相关。
步骤 4：讨论极大无关组
**当 $a = 0$ 时：** 矩阵 $A$ 秩为1，$\alpha_1$ 为极大无关组，其余向量为 $\alpha_2 = 2\alpha_1$，$\alpha_3 = 3\alpha_1$，$\alpha_4 = 4\alpha_1$。
**当 $a = -4$ 时：** 矩阵 $A$ 秩为3，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为极大无关组，$\alpha_4 = -\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3$。