9、若A为三阶方阵，且|A+2E|=0,|2A+E|=0,|3A-4E|=0,则|A|=( )A. 8B. -8C. (4)/(3)D. -(4)/(3)

本题考查方阵特征值与行列式的关系。解题的关键思路是根据已知条件求出方阵$A$的特征值，再利用方阵的行列式等于其所有特征值的乘积这一性质来计算$\vert A\vert$。

步骤一：根据已知条件求出方阵$A$的特征值

• 已知$\vert A + 2E\vert = 0$，根据特征值的定义，若$\vert\lambda E - A\vert = 0$，则$\lambda$为方阵$A$的特征值。
  将$\vert A + 2E\vert = 0$变形为$\vert -(-2)E - A\vert = 0$，所以$\lambda_1 = -2$是方阵$A$的一个特征值。
• 已知$\vert 2A + E\vert = 0$，对其进行变形：
  $\vert 2A + E\vert = \vert 2(A + \frac{1}{2}E)\vert$，根据行列式的性质$\vert kA\vert = k^n\vert A\vert$（其中$n$为方阵$A$的阶数，这里$n = 3$），可得$\vert 2(A + \frac{1}{2}E)\vert = 2^3\vert A + \frac{1}{2}E\vert = 8\vert A + \frac{1}{2}E\vert$。
  因为$\vert 2A + E\vert = 0$，所以$8\vert A + \frac{1}{2}E\vert = 0$，即$\vert A + \frac{1}{2}E\vert = 0$，进一步变形为$\vert -(-\frac{1}{2})E - A\vert = 0$，所以$\lambda_2 = -\frac{1}{2}$是方阵$A$的一个特征值。
• 已知$\vert 3A - 4E\vert = 0$，对其进行变形：
  $\vert 3A - 4E\vert = \vert 3(A - \frac{4}{3}E)\vert = 3^3\vert A - \frac{4}{3}E\vert = 27\vert A - \frac{4}{3}E\vert$。
  因为$\vert 3A - 4E\vert = 0$，所以$27\vert A - \frac{4}{3}E\vert = 0$，即$\vert A - \frac{4}{3}E\vert = 0$，所以$\lambda_3 = \frac{4}{3}$是方阵$A$的一个特征值。

步骤二：根据方阵的行列式与特征值的关系计算$\vert A\vert$

对于$n$阶方阵$A$，其行列式$\vert A\vert$等于其所有特征值的乘积，即$\vert A\vert = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$。
因为$A$是三阶方阵，且$\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = -\frac{1}{2}$，$\lambda_3 = \frac{4}{3}$，所以$\vert A\vert = (-2)\times(-\frac{1}{2})\times\frac{4}{3}$
$= 1\times\frac{4}{3} = \frac{4}{3}$。