题目
已知当 arrow (0)^+ 时 sqrt ({x)^2+sin sqrt (x)} 是x的k阶无穷小则 k=A.已知当 arrow (0)^+ 时 sqrt ({x)^2+sin sqrt (x)} 是x的k阶无穷小则 k=B.2C.1
A.
B.2
C.1
题目解答
答案
由题意得，
，令
，原式=
当x趋近于0时，由泰勒展开式得
代入原式，化简，
选择A
解析
步骤 1：转换变量
令 $\sqrt{x} = t$，则 $x = t^2$，当 $x \rightarrow 0^+$ 时，$t \rightarrow 0^+$。原式变为 $\lim_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{t^4 + \sin t}}{t^{2k}}$。
步骤 2：泰勒展开
当 $t \rightarrow 0^+$ 时，$\sin t$ 可以用泰勒展开式近似为 $\sin t = t - \dfrac{1}{6}t^3 + o(t^3)$。
步骤 3：代入并化简
将 $\sin t$ 的泰勒展开式代入原式，得到 $\lim_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{t^4 + t - \dfrac{1}{6}t^3 + o(t^3)}}{t^{2k}}$。由于 $t^4$ 和 $-\dfrac{1}{6}t^3$ 在 $t \rightarrow 0^+$ 时相对于 $t$ 是高阶无穷小，可以忽略，因此原式简化为 $\lim_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{t}}{t^{2k}}$。
步骤 4：求解k
要使 $\lim_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{t}}{t^{2k}}$ 为有限值，需要 $2k = \dfrac{1}{2}$，解得 $k = \dfrac{1}{4}$。
令 $\sqrt{x} = t$，则 $x = t^2$，当 $x \rightarrow 0^+$ 时，$t \rightarrow 0^+$。原式变为 $\lim_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{t^4 + \sin t}}{t^{2k}}$。
步骤 2：泰勒展开
当 $t \rightarrow 0^+$ 时，$\sin t$ 可以用泰勒展开式近似为 $\sin t = t - \dfrac{1}{6}t^3 + o(t^3)$。
步骤 3：代入并化简
将 $\sin t$ 的泰勒展开式代入原式，得到 $\lim_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{t^4 + t - \dfrac{1}{6}t^3 + o(t^3)}}{t^{2k}}$。由于 $t^4$ 和 $-\dfrac{1}{6}t^3$ 在 $t \rightarrow 0^+$ 时相对于 $t$ 是高阶无穷小，可以忽略，因此原式简化为 $\lim_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{t}}{t^{2k}}$。
步骤 4：求解k
要使 $\lim_{t \rightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{t}}{t^{2k}}$ 为有限值，需要 $2k = \dfrac{1}{2}$，解得 $k = \dfrac{1}{4}$。