题目
(4) =dfrac (x)(sqrt {1-{x)^2}}
题目解答
答案
解：
解析
步骤 1：确定积分形式
给定函数 $y=\dfrac {x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$，我们需要计算其不定积分 $\int \dfrac {x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx$。
步骤 2：使用代换法
令 $u=1-x^2$，则 $du=-2xdx$，即 $xdx=-\dfrac{1}{2}du$。将 $u$ 和 $du$ 代入原积分中，得到
$$\int \dfrac {x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx = -\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{\sqrt{u}}du$$
步骤 3：计算积分
根据积分公式 $\int u^{-\frac{1}{2}}du = 2u^{\frac{1}{2}} + C$，我们有
$$-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{\sqrt{u}}du = -\dfrac{1}{2} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{u} + C$$
将 $u=1-x^2$ 代回，得到
$$-\sqrt{1-x^2} + C$$
给定函数 $y=\dfrac {x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}$，我们需要计算其不定积分 $\int \dfrac {x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx$。
步骤 2：使用代换法
令 $u=1-x^2$，则 $du=-2xdx$，即 $xdx=-\dfrac{1}{2}du$。将 $u$ 和 $du$ 代入原积分中，得到
$$\int \dfrac {x}{\sqrt {1-{x}^{2}}}dx = -\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{\sqrt{u}}du$$
步骤 3：计算积分
根据积分公式 $\int u^{-\frac{1}{2}}du = 2u^{\frac{1}{2}} + C$，我们有
$$-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{\sqrt{u}}du = -\dfrac{1}{2} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{u} + C$$
将 $u=1-x^2$ 代回，得到
$$-\sqrt{1-x^2} + C$$