14. 若级数 sum_(n=1)^infty u_n 收敛、sum_(n=1)^infty v_n 发散，则下列结论一定正确的是（）。A. sum_(n=1)^infty ku_n（k为常数）收敛B. sum_(n=1)^infty kv_n（k为常数）发散C. sum_(n=1)^infty (u_n+v_n)收敛D. sum_(n=1)^infty (u_n-v_n)收敛

考查要点：本题主要考查级数收敛性的基本性质，特别是线性组合的收敛性判断。

解题核心思路：

1. 收敛级数的线性组合仍收敛（选项A正确）。
2. 发散级数乘以非零常数仍发散，但乘以0时可能收敛（选项B不一定正确）。
3. 收敛级数与发散级数的和/差一定发散（选项C、D错误）。

破题关键点：

• 明确级数收敛性在加减、常数倍下的封闭性。
• 特别注意常数为0的特殊情况对选项的影响。

选项分析

选项A

若 $\sum u_n$ 收敛，则对任意常数 $k$，级数 $\sum k u_n$ 的部分和为 $k$ 倍原级数的部分和。由于原级数收敛，其部分和有界，乘以常数后仍收敛。选项A正确。

选项B

若 $\sum v_n$ 发散，当 $k \neq 0$ 时，$\sum k v_n$ 仍发散；但若 $k = 0$，则 $\sum 0 \cdot v_n = \sum 0$ 收敛。因此选项B不一定正确。

选项C

若 $\sum u_n$ 收敛，$\sum v_n$ 发散，则 $\sum (u_n + v_n)$ 的部分和为 $\sum u_n + \sum v_n$。由于 $\sum v_n$ 发散，整体必发散。选项C错误。

选项D

同理，$\sum (u_n - v_n) = \sum u_n - \sum v_n$。$\sum v_n$ 发散导致整体发散。选项D错误。