题目

设triangle ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(2a-c)sin A+(2c-a)sin C=2bsin B.(1)求B；(2)当triangle ABC为锐角三角形，b=2时，求triangle ABC的周长的取值范围.

设$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$.若$\left(2a-c\right)\sin A+\left(2c-a\right)\sin C=2b\sin B$.
$(1)$求$B$；
$(2)$当$\triangle ABC$为锐角三角形，$b=2$时，求$\triangle ABC$的周长的取值范围.

题目解答

答案

$\left(1\right)\because \left(2a-c\right)\sin A+\left(2c-a\right)\sin C=2b\sin B$，
$\therefore $由正弦定理可得$2\sin ^{2}A-\sin C\sin A+2\sin ^{2}C-\sin A\sin C=2\sin ^{2}B$，
$\therefore \sin ^{2}A+\sin ^{2}C-\sin ^{2}B=\sin A\sin C$，
$\therefore a^{2}+c^{2}-b^{2}=ac$，
$\therefore cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}$，又$0 \lt B \lt \pi $，
$\therefore B=\frac{π}{3}$；
$(2)\because \triangle ABC$为锐角三角形，且$b=2$，
$\therefore $由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$
$\therefore a=\frac{4}{\sqrt{3}}sinA$，$c=\frac{4}{\sqrt{3}}sinC$，
又$B=\frac{π}{3}$，$\therefore A+C=\frac{2π}{3}$，
$\therefore a+b+c=\frac{4}{\sqrt{3}}[sinC+sin(\frac{2π}{3}-C)]+2$
$=4\sin (C+\frac{π}{6})+2$，
$\because \triangle ABC$为锐角三角形，
$\therefore \left\{\begin{array}{cc}0＜\frac{2π}{3}-C＜\frac{π}{2}&\\ 0＜C＜\frac{π}{2}&\end{array}\right.$，
$\therefore \frac{π}{6}＜C＜\frac{π}{2}$，$\therefore \frac{π}{3} \lt C+\frac{π}{6} \lt \frac{2π}{3}$，
$\therefore \sin (C+\frac{π}{6})\in (\frac{\sqrt{3}}{2}$，$1]$，
$\therefore a+b+c\in (2+2\sqrt{3}$，$6]$，
$\therefore \triangle ABC$周长的取值范围为$(2+2\sqrt{3}$，$6]$.

解析

考查要点：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，以及三角函数的恒等变换和最值问题。

解题思路：

  1. 第一问：通过正弦定理将方程中的正弦项转化为边长关系，结合余弦定理求出角$B$的值。
  2. 第二问：利用正弦定理将边长表示为角的正弦函数，结合锐角三角形的条件，通过三角恒等变换和正弦函数的有界性确定周长的取值范围。

破题关键：

  • 第一问的关键在于将方程中的正弦项转化为边长关系，从而得到余弦定理的形式。
  • 第二问需要将周长表达式转化为单一角的正弦函数形式，并结合锐角条件确定角的范围，进而求出周长的范围。

第（1）题

应用正弦定理

由正弦定理$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，可得$\sin A = \frac{a}{2R}$，$\sin B = \frac{b}{2R}$，$\sin C = \frac{c}{2R}$，其中$R$为三角形的外接圆半径。将原方程代入后化简，得到：
$a^2 + c^2 - ac = b^2$

应用余弦定理

根据余弦定理$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$，对比可得：
$-2ac \cos B = -ac \implies \cos B = \frac{1}{2}$
因此，$B = \frac{\pi}{3}$。

第（2）题

正弦定理表示边长

由正弦定理$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} = \frac{4}{\sqrt{3}}$，得：
$a = \frac{4}{\sqrt{3}} \sin A, \quad c = \frac{4}{\sqrt{3}} \sin C$

周长表达式

周长为：
$a + b + c = \frac{4}{\sqrt{3}} (\sin A + \sin C) + 2$
利用$A + C = \frac{2\pi}{3}$，将$\sin C$表示为$\sin\left(\frac{2\pi}{3} - A\right)$，化简得：
$\sin A + \sin\left(\frac{2\pi}{3} - A\right) = \sqrt{3} \sin\left(A + \frac{\pi}{6}\right)$

确定角的范围

由于$\triangle ABC$为锐角三角形，需满足：
$\begin{cases}0 < A < \frac{\pi}{2} \\0 < C = \frac{2\pi}{3} - A < \frac{\pi}{2}\end{cases} \implies \frac{\pi}{6} < A < \frac{\pi}{2}$
因此，$A + \frac{\pi}{6}$的范围为$\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right)$，对应$\sin\left(A + \frac{\pi}{6}\right) \in \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$。

求周长范围

周长表达式为：
$4 \sin\left(A + \frac{\pi}{6}\right) + 2$
其取值范围为：
$\left(2 + 2\sqrt{3}, 6\right]$