设A是n阶方阵，满足A^2=E，则（）。A. 的行列式为1B. A-E，A+E不同时可逆.C. A的伴随矩阵A^*=AD. A的特征值全是1

考查要点：本题主要考查矩阵的性质，包括行列式的运算、矩阵可逆的条件、伴随矩阵的定义以及特征值的性质。

解题核心思路：

1. 行列式的性质：利用$A^2 = E$推导行列式的可能值。
2. 矩阵可逆的矛盾分析：假设选项B中的两个矩阵同时可逆，推导出矛盾。
3. 伴随矩阵与逆矩阵的关系：结合$A^{-1} = A$分析伴随矩阵的形式。
4. 特征值的方程：通过$A^2 = E$确定特征值的可能取值。

破题关键点：

• 选项B的矛盾推导：若$A - E$和$A + E$同时可逆，则它们的乘积为零矩阵，与可逆矩阵的性质矛盾。
• 行列式的平方性质：$(\det A)^2 = 1$，但$\det A$可能为$\pm 1$，需注意符号。

选项分析

选项A

由$A^2 = E$，得$\det(A^2) = \det(E)$，即$(\det A)^2 = 1$，故$\det A = \pm 1$。
结论：选项A错误（行列式可能为$-1$）。

选项B

假设$A - E$和$A + E$同时可逆，则：
$(A - E)(A + E) = A^2 - E = E - E = 0.$
但两个可逆矩阵的乘积不可能为零矩阵，矛盾。
结论：选项B正确（两者不同时可逆）。

选项C

伴随矩阵定义为$A^* = \det(A) A^{-1}$。由$A^2 = E$知$A^{-1} = A$，故：
$A^* = \det(A) \cdot A.$
由于$\det A = \pm 1$，仅当$\det A = 1$时$A^* = A$，但题目未限定$\det A$的符号。
结论：选项C错误（可能$A^* = -A$）。

选项D

设$\lambda$为$A$的特征值，则$\lambda^2 = 1$，即$\lambda = \pm 1$。
结论：选项D错误（特征值可能为$-1$）。