(int )_(-1)^1((x+sqrt {1-{x)^2})}^2dx=

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是利用奇偶函数的性质简化积分过程。

解题核心思路：

1. 展开被积函数，将平方项展开为多项式形式，简化积分表达式。
2. 分析被积函数的奇偶性，利用奇函数在对称区间上的积分性质（奇函数的定积分为0）快速求解。
3. 分项积分，将积分拆分为容易计算的部分和可快速判断的部分。

破题关键点：

• 识别奇函数：被积函数中的交叉项 $x\sqrt{1-x^2}$ 是奇函数，其在对称区间 $[-1,1]$ 上的积分为0。
• 简化计算：通过展开和分项积分，避免复杂的积分运算。

步骤1：展开被积函数
将 $(x + \sqrt{1-x^2})^2$ 展开：
$(x + \sqrt{1-x^2})^2 = x^2 + 2x\sqrt{1-x^2} + (1-x^2).$

步骤2：拆分积分
原积分可拆分为三部分：
$\int_{-1}^{1} x^2 \, dx + 2\int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x^2} \, dx + \int_{-1}^{1} (1-x^2) \, dx.$

步骤3：合并同类项
注意到 $x^2$ 和 $-x^2$ 的积分相加为0，因此原式简化为：
$\int_{-1}^{1} 1 \, dx + 2\int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x^2} \, dx.$

步骤4：计算各部分积分

1. 第一部分积分：
   $\int_{-1}^{1} 1 \, dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2.$

2. 第二部分积分：

   • 被积函数 $x\sqrt{1-x^2}$ 是奇函数（$x$ 是奇函数，$\sqrt{1-x^2}$ 是偶函数，奇函数乘偶函数为奇函数）。
   • 根据奇函数在对称区间上的积分性质：
     $\int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x^2} \, dx = 0.$

步骤5：综合结果
将两部分结果相加：
$2 + 2 \times 0 = 2.$