题目
(int )_(-1)^1((x+sqrt {1-{x)^2})}^2dx=
题目解答
答案
解析：
解析
步骤 1：展开被积函数
原式 $={\int }_{-1}^{1}[ {x}^{2}+2x\sqrt {1-{x}^{2}}+(1-{x}^{2})] dx$，这里我们对被积函数 $(x+\sqrt {1-{x}^{2}})^2$ 进行了展开，得到 $x^2 + 2x\sqrt{1-x^2} + (1-x^2)$。
步骤 2：分项积分
$={\int }_{-1}^{1}dx+2{\int }_{-1}^{1}x\sqrt {1-{x}^{2}}dx$，将积分式子拆分为两项，第一项是常数项的积分，第二项是含有 $x\sqrt{1-x^2}$ 的积分。
步骤 3：计算积分
其中 ${\int }_{-1}^{1}x\sqrt {1-{x}^{2}}dx=0$，因为 $x\sqrt{1-x^2}$ 是奇函数，其在对称区间 $[-1,1]$ 上的积分为0。因此，原式简化为 ${\int }_{-1}^{1}dx$，即 $[x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2$。
原式 $={\int }_{-1}^{1}[ {x}^{2}+2x\sqrt {1-{x}^{2}}+(1-{x}^{2})] dx$，这里我们对被积函数 $(x+\sqrt {1-{x}^{2}})^2$ 进行了展开，得到 $x^2 + 2x\sqrt{1-x^2} + (1-x^2)$。
步骤 2：分项积分
$={\int }_{-1}^{1}dx+2{\int }_{-1}^{1}x\sqrt {1-{x}^{2}}dx$，将积分式子拆分为两项，第一项是常数项的积分，第二项是含有 $x\sqrt{1-x^2}$ 的积分。
步骤 3：计算积分
其中 ${\int }_{-1}^{1}x\sqrt {1-{x}^{2}}dx=0$，因为 $x\sqrt{1-x^2}$ 是奇函数，其在对称区间 $[-1,1]$ 上的积分为0。因此，原式简化为 ${\int }_{-1}^{1}dx$，即 $[x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2$。