设离散型随机变量X的分布律为 X=i =dfrac (a)(i(i+1)) =1, 2,···,则 Xlt 5 =-|||-(A) 2/5. (B) dfrac (5)(12). (C) dfrac (4)(5). (D) dfrac (5)(6).

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布律的归一性条件及概率求和计算，涉及级数求和的望远镜法应用。

解题核心思路：

1. 确定归一性条件：根据概率分布的总和为1，求出常数$a$的值。
2. 计算指定事件概率：利用望远镜求和法，快速计算$P\{X<5\}$的值。

破题关键点：

• 分解分式：将$\dfrac{a}{i(i+1)}$拆分为$a\left(\dfrac{1}{i} - \dfrac{1}{i+1}\right)$，使级数求和时中间项抵消。
• 望远镜求和：通过逐项抵消简化无限级数求和过程。

步骤1：确定常数$a$

根据概率的归一性，所有可能取值的概率之和为1：
$\sum_{i=1}^{+\infty} P\{X=i\} = \sum_{i=1}^{+\infty} \dfrac{a}{i(i+1)} = 1$
将分式拆分为：
$\dfrac{a}{i(i+1)} = a\left(\dfrac{1}{i} - \dfrac{1}{i+1}\right)$
代入求和式：
$a \sum_{i=1}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{i} - \dfrac{1}{i+1}\right) = a \left[ \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots \right]$
望远镜求和后，中间项抵消，仅剩首项$1$和极限项$\dfrac{1}{+\infty}$（趋近于0），因此：
$a \cdot 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 1$

步骤2：计算$P\{X<5\}$

$P\{X<5\}$表示$X$取$1,2,3,4$的概率之和：
$\sum_{i=1}^{4} P\{X=i\} = \sum_{i=1}^{4} \dfrac{1}{i(i+1)}$
同样拆分为：
$\sum_{i=1}^{4} \left(\dfrac{1}{i} - \dfrac{1}{i+1}\right) = \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5}\right)$
逐项抵消后，仅剩首项$1$和末项$-\dfrac{1}{5}$：
$1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$