题目
是负定二次型的充要条件是它的矩阵A的n个顺序主子式都小于零。 ( 对 ? 错 ?)
是负定二次型的充要条件是它的矩阵A的n个顺序主子式都小于零。 ( 对 ? 错 ?)
题目解答
答案
解:错。
负定的充要条件是 A的顺序主子式 
知足
例如:
是负定的,可是其2阶顺序主子式大于零。
解析
步骤 1：定义负定二次型
负定二次型是指对于任意非零向量x，二次型f(x)的值都小于零。二次型f(x)可以表示为f(x) = x^T A x，其中A是二次型的矩阵。
步骤 2：负定二次型的充要条件
负定二次型的充要条件是矩阵A的顺序主子式满足${(-1)}^{i}{D}_{i}\gt 0$ $(i=1,2,\cdots ,n)$，其中${D}_{i}$是A的第i个顺序主子式。
步骤 3：举例说明
例如，考虑二次型$f({x}_{1},{x}_{2})=-2{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}$，其矩阵A为$\begin{pmatrix}-2 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$。A的顺序主子式为$D_1 = -2$和$D_2 = 2$，满足${(-1)}^{i}{D}_{i}\gt 0$ $(i=1,2)$，因此$f({x}_{1},{x}_{2})$是负定的。但是，其2阶顺序主子式大于零。
负定二次型是指对于任意非零向量x，二次型f(x)的值都小于零。二次型f(x)可以表示为f(x) = x^T A x，其中A是二次型的矩阵。
步骤 2：负定二次型的充要条件
负定二次型的充要条件是矩阵A的顺序主子式满足${(-1)}^{i}{D}_{i}\gt 0$ $(i=1,2,\cdots ,n)$，其中${D}_{i}$是A的第i个顺序主子式。
步骤 3：举例说明
例如，考虑二次型$f({x}_{1},{x}_{2})=-2{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}$，其矩阵A为$\begin{pmatrix}-2 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$。A的顺序主子式为$D_1 = -2$和$D_2 = 2$，满足${(-1)}^{i}{D}_{i}\gt 0$ $(i=1,2)$，因此$f({x}_{1},{x}_{2})$是负定的。但是，其2阶顺序主子式大于零。