设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t 3 f(x，y)，且f" 1 (1，2)=1，f" 2 (1，2)=4，则f(1，2)=______

考查要点：本题主要考查齐次函数的性质及其相关定理（如欧拉定理）的应用，以及偏导数的计算。

解题核心思路：
题目中给出函数$f(tx, ty) = t^3 f(x, y)$，说明$f$是3次齐次函数。根据齐次函数的欧拉定理，可建立偏导数与函数值的关系式：
$x \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + y \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 3f(x,y).$
将已知点$(1,2)$及偏导数值代入，即可求解$f(1,2)$。

破题关键点：

1. 识别齐次函数的次数（本题为3次）。
2. 应用欧拉定理或对齐次方程直接求导，建立偏导数与函数值的关系式。

步骤1：应用齐次函数性质
已知$f(tx, ty) = t^3 f(x, y)$，说明$f$是3次齐次函数。根据欧拉定理，对任意$(x,y)$，有：
$x \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + y \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 3f(x,y).$

步骤2：代入已知点$(1,2)$
将$x=1$，$y=2$代入欧拉定理公式：
$1 \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(1,2) + 2 \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = 3f(1,2).$

步骤3：代入偏导数值
已知$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=1$，$\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=4$，代入得：
$1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 3f(1,2).$

步骤4：解方程求$f(1,2)$
计算左边：
$1 + 8 = 9 = 3f(1,2).$
解得：
$f(1,2) = \frac{9}{3} = 3.$