设 f(x) 及 g(x) 在 [a, b] 上连续，下列说法正确的（）。A. 若在 [a, b] 上，f(x)geq 0，且 f(x)neq 0，则 int_(a)^b f(x), dx > 0。B. 若在 [a, b] 上，f(x)geq 0，且 int_(a)^b f(x), dx = 0，则在 [a, b] 上 f(x)= 0。C. 若在 [a, b] 上，f(x)leq g(x)，且 f(x)neq g(x)，则 int_(a)^b f(x), dx D. 若在 [a, b] 上，f(x)leq g(x)，int_(a)^b f(x), dx = int_(a)^b g(x), dx，则在 [a, b] 上 f(x)= g(x)。
A. 若在 $[a, b]$ 上，$f(x)\geq 0$，且 $f(x)\neq 0$，则 $\int_{a}^{b} f(x)\, dx > 0$。
B. 若在 $[a, b]$ 上，$f(x)\geq 0$，且 $\int_{a}^{b} f(x)\, dx = 0$，则在 $[a, b]$ 上 $f(x)= 0$。
C. 若在 $[a, b]$ 上，$f(x)\leq g(x)$，且 $f(x)\neq g(x)$，则 $\int_{a}^{b} f(x)\, dx < \int_{a}^{b} g(x)\, dx$。
D. 若在 $[a, b]$ 上，$f(x)\leq g(x)$，$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \int_{a}^{b} g(x)\, dx$，则在 $[a, b]$ 上 $f(x)= g(x)$。
题目解答
答案
A. 若在 $[a, b]$ 上，$f(x)\geq 0$，且 $f(x)\neq 0$，则 $\int_{a}^{b} f(x)\, dx > 0$。
B. 若在 $[a, b]$ 上，$f(x)\geq 0$，且 $\int_{a}^{b} f(x)\, dx = 0$，则在 $[a, b]$ 上 $f(x)= 0$。
C. 若在 $[a, b]$ 上，$f(x)\leq g(x)$，且 $f(x)\neq g(x)$，则 $\int_{a}^{b} f(x)\, dx < \int_{a}^{b} g(x)\, dx$。
D. 若在 $[a, b]$ 上，$f(x)\leq g(x)$，$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \int_{a}^{b} g(x)\, dx$，则在 $[a, b]$ 上 $f(x)= g(x)$。
解析
本题考查定积分的基本性质，特别是非负函数的积分性质及函数相等的判定。关键点在于：
- 非负函数的积分：若函数非负且不恒为零，则积分严格大于零；
- 积分与函数关系：积分相等时，结合非负性可推出函数恒等；
- 连续函数的特性：连续函数在区间上的局部性质可推广到整体。
选项A
关键点：$f(x) \geq 0$ 且 $f(x) \neq 0$。
由于$f(x)$连续且不恒为零，存在子区间$[c, d] \subset [a, b]$，使得$f(x) > 0$在该区间上成立。根据积分的局部保号性，$\int_{c}^{d} f(x) dx > 0$，从而$\int_{a}^{b} f(x) dx > 0$。正确。
选项B
关键点：$f(x) \geq 0$ 且积分$\int_{a}^{b} f(x) dx = 0$。
若$f(x)$在某点$x_0$处$f(x_0) > 0$，由连续性存在邻域$[c, d]$使得$f(x) > 0$，此时$\int_{c}^{d} f(x) dx > 0$，与总积分等于零矛盾。故$f(x) = 0$在$[a, b]$上恒成立。正确。
选项C
关键点：$f(x) \leq g(x)$且$f(x) \neq g(x)$。
由于$f$与$g$连续且不恒等，存在子区间$[c, d]$使得$f(x) < g(x)$。根据积分的比较定理，$\int_{c}^{d} [g(x) - f(x)] dx > 0$，故$\int_{a}^{b} f(x) dx < \int_{a}^{b} g(x) dx$。正确。
选项D
关键点：$f(x) \leq g(x)$且积分相等。
令$h(x) = g(x) - f(x) \geq 0$，且$\int_{a}^{b} h(x) dx = 0$。由选项B的结论，$h(x) = 0$，即$f(x) = g(x)$在$[a, b]$上恒成立。正确。