f(x)= ({e)^4-dfrac (1)(3))-|||-dfrac (1)(2)(e)^4-|||-dfrac (1)(2)((e)^2-dfrac (1)(3))-|||-dfrac (1)(2)(e)^2

步骤 1：确定积分区间
函数 f(x) 在区间 [-1, 0] 上的表达式为 $x^2$，在区间 (0, 2] 上的表达式为 $e^{2x}$。因此，定积分 ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx$ 可以分为两部分：${\int }_{-1}^{0}x^2dx$ 和 ${\int }_{0}^{2}e^{2x}dx$。

步骤 2：计算第一部分积分
计算 ${\int }_{-1}^{0}x^2dx$，这是一个基本的多项式积分。根据积分公式，${\int }_{-1}^{0}x^2dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^{0} = \frac{1}{3}(0^3 - (-1)^3) = \frac{1}{3}$。

步骤 3：计算第二部分积分
计算 ${\int }_{0}^{2}e^{2x}dx$，这是一个指数函数的积分。根据积分公式，${\int }_{0}^{2}e^{2x}dx = \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2}(e^{4} - e^{0}) = \frac{1}{2}(e^{4} - 1)$。

步骤 4：合并两部分积分结果
将两部分积分结果相加，得到 ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}(e^{4} - 1) = \frac{1}{2}(e^{4} - \frac{1}{3})$。