题目
注：写成小数设X~b(100,0.3)，由切贝谢夫不等式，应有则p(|X-30|<10)≥[填空1]
注：写成小数
设X~b(100,0.3)，由切贝谢夫不等式，应有则p{|X-30|<10}≥[填空1]
题目解答
答案
由切比雪夫不等式 $P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$，对于二项分布 $X \sim b(100, 0.3)$，有 $E(X) = 30$，$D(X) = 21$。令 $\varepsilon = 10$，则
\[ P(|X - 30| \geq 10) \leq \frac{21}{100} = 0.21. \]
因此，
\[ P(|X - 30| < 10) \geq 1 - 0.21 = 0.79. \]
答案：$\boxed{0.79}$。
解析
考查要点：本题主要考查切比雪夫不等式的应用，以及二项分布的期望与方差的计算。
解题核心思路：
- 确定二项分布的期望和方差：对于二项分布$X \sim b(n,p)$，期望$E(X)=np$，方差$D(X)=np(1-p)$。
- 应用切比雪夫不等式：将题目中的概率转化为切比雪夫不等式的形式，通过方差和给定的偏差值计算概率的下界。
破题关键点：
- 正确计算期望和方差：代入二项分布的参数$n=100$和$p=0.3$。
- 灵活变形不等式：将题目中的$P(|X-30|<10)$转化为切比雪夫不等式的补集形式，再通过$1 - \text{上界}$得到下界。
步骤1：计算期望与方差
对于二项分布$X \sim b(100, 0.3)$：
- 期望：$E(X) = np = 100 \times 0.3 = 30$。
- 方差：$D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.3 \times 0.7 = 21$。
步骤2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式为：
$P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$
题目中要求$P(|X - 30| < 10)$，等价于求$P(|X - E(X)| < 10)$。令$\varepsilon = 10$，则：
$P(|X - 30| \geq 10) \leq \frac{21}{10^2} = 0.21$
步骤3：求原概率的下界
根据概率的互补关系：
$P(|X - 30| < 10) = 1 - P(|X - 30| \geq 10) \geq 1 - 0.21 = 0.79$